No es necesario normalizar la función de onda, a menos que haga algo con ella que suponga que está normalizada.
Una forma en que se formula la mecánica cuántica (parece ser más común que los matemáticos la formulen de esta manera que los físicos la formulen de esta manera) considera que un estado puro es una línea a través del origen en un espacio de Hilbert.
Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial complejo (tiene suma, resta y multiplicación escalar por números complejos) con un producto interno (como un producto de puntos, pero donde multiplicar uno de los vectores por un resultado escalar multiplica por el mismo escalar, [ math] = a [/ math] al multiplicar el otro por un escalar multiplica el resultado por el conjugado complejo, [math] = \ bar {a} [/ math]), y también completa en el sentido de que una secuencia convergente de vectores Cauchy tiene un límite.
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Una línea a través del origen es el conjunto de vectores que pueden producirse multiplicando un vector dado distinto de cero por escalares (complejos). Por lo tanto, se podría decir que un estado es un vector distinto de cero, con la condición de que multiplicar un vector por un escalar distinto de cero le proporcione un estado equivalente. Cada vector es equivalente a un vector normalizado (que también se puede cambiar en fase global mientras se mantiene equivalente).
Existe un concepto más general de estado, un estado que podría ser “mixto” (no “puro”). Estos están asociados con ciertos operadores en el mismo espacio de Hilbert. La forma en que se representa un estado puro es como la proyección ortogonal sobre la línea a través del origen que se asocia con el estado puro. Desde cierto punto de vista, esto es conceptualmente sencillo. Un estado mixto es entonces una suma ponderada de estados puros, donde los pesos suman 1. Si está familiarizado con formulaciones similares de mecánica cuántica, sabe que los observables también están representados por operadores.
Las razones por las cuales las personas a veces formulan la mecánica cuántica de esta manera (y las razones por las cuales las personas a veces suponen que el estado es un vector normalizado) son principalmente cuestiones de conveniencia técnica. Si no se normaliza, la forma más fácil de hacer muchos cálculos es primero normalizar el vector, por lo que para algunos propósitos es más simple mantener el vector normalizado en todo momento. Sospecho que es por eso que he visto la formulación que di más a menudo en las explicaciones de los matemáticos; es más probable que el físico esté a punto de hacer algunos cálculos en los que la norma está a punto de dividirse por otra parte. Me gusta la versión en la que no asumes la normalización al principio, porque en cierto sentido explica por qué la aplicación de un cambio general en la fase no cambia el estado. Mientras sea físicamente equivalente, no debería sentirse incómodo al cambiar la formulación matemática.
