Recomiendo tomar algunas semanas para sumergirse en el cálculo estocástico y algunas de las relaciones muy interesantes entre las integrales de la ruta, la teoría de la probabilidad y el análisis funcional. Si hay algo que sacar de él, realmente deberías entender por qué es tan difícil describir formalmente el Feynman Path Integral. Obviamente, la razón más trivial por la que es imposible formalizar es la falta de un análogo invariante traslacional de la medida de Lebesgue en espacios de dimensión infinita [0]. Sin embargo, hay otras piezas más matizadas (y específicas) de Path Integral que se pueden formalizar y que es bastante importante conocer. Entre los “grandes éxitos (cálculos) estocásticos” que podrías querer ver incluyen:
- Lema de Ito : este es el teorema fundamental del cálculo estocástico y dice que la regla de la cadena no se aplica … hasta una corrección de segundo orden.
- El puente browniano: este es un proceso estocástico que se asemeja más a la acción clásica de la mecánica clásica (por ejemplo, puntos fijados mientras la acción varía la ruta de la muestra). Le dará una idea de la ‘patología’ con la que tiene que lidiar cuando intente definir la integral de la ruta.
- El teorema de Girasonov: Esto le permite transformar cualquier medida en una forma en la que pueda usar el Lema de Ito.
- Las ecuaciones de Kolmogorov hacia adelante y hacia atrás: Te darán una idea de cuál es realmente la distribución [1] o las funciones de Green involucradas en los cálculos. Además, comprender la diferencia entre un proceso estacionario con una distribución de equilibrio bien definida y un proceso no estacionario puede ser importante al hacer cálculos QFT (al menos en un nivel intuitivo).
- La fórmula de Feynman-Kac: esta fórmula generaliza la ecuación de Kolmogorov hacia atrás y proporciona uno de los únicos enlaces directos entre las ecuaciones diferenciales integrales de camino y estocásticas. Asegúrese de tener en cuenta que esta fórmula es diferente de lo que realmente está buscando en QFT porque la medida Wiener de [matemática] C ^ {k} ([0,1]) [/ matemática] es cero, [matemática] \ forall k [/ math] y en cualquier QFT, uno necesita las derivadas de un campo. También tenga en cuenta que casi cualquier relación con las finanzas matemáticas surge de esta fórmula.
Un buen libro para leer es el libro de Oskendal [2]. Ver también las diapositivas de Bruce Driver sobre cuantización canónica y formalidad [3].
[0] Para la prueba de dos líneas, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Inf…
[1] Técnicamente en QFT se trata de distribuciones valoradas por el operador . Estos son objetos matemáticamente rebeldes y los axiomas de Wightman especifican cómo cuidarlos. Vea un libro como Una introducción matemática a la teoría de campo conforme de M. Schottenloher para un breve resumen.
[2] http://books.google.com/books/ab…
[3] http://www.math.ucsd.edu/~bdrive…
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