Para concretar, hablemos de los electrones que pasan por un aparato de doble rendija. Simplificaremos las cosas dramáticamente haciendo suposiciones de ondas planas en lugar de tratar con paquetes de ondas, por lo que la solución final no será normalizable, pero debería demostrar el punto principal.
Podemos etiquetar las rendijas [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas], y llamar a los estados correspondientes al paso por cada ranura [matemáticas] | A \ rangle [/ matemáticas] y [matemáticas] | B \ rangle [/ math], respectivamente. Vale la pena señalar que debido a que los electrones estaban en un estado coherente antes de pasar a través de las rendijas, la única diferencia entre esos estados es una diferencia de fase correspondiente a la longitud de camino adicional tomada por uno de los electrones. En otras palabras,
[matemáticas] | A \ rangle = | \ alpha \ rangle, | B \ rangle = e ^ {i \ delta} | \ alpha \ rangle [/ math]
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donde [matemáticas] \ langle \ alpha | \ alpha \ rangle = 1 [/ math] para fines de normalización. Usaremos esto en un momento.
Ahora consideremos el estado del sistema en la pantalla lejana, donde llamamos a la posición en la pantalla lejana [math] x [/ math]. Debido a que el electrón tenía la misma probabilidad de atravesar cualquiera de las ranuras, podemos decir que
[matemáticas] | \ psi (x) \ rangle = \ left (| A \ rangle + | B \ rangle \ right) / \ sqrt {2} = \ frac {1 + e ^ {i \ delta (x)}} {\ sqrt {2}} | \ alpha \ rangle [/ math]
donde notamos que [math] \ delta [/ math] depende de [math] x [/ math]. ¿Cuál es la probabilidad de que midamos un electrón entre [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] x + dx [/ matemáticas]? Bueno, es solo
[matemáticas] \ langle \ psi (x) | \ psi (x) \ rangle dx = \ frac {1 + e ^ {- i \ delta}} {\ sqrt {2}} \ frac {1 + e ^ {i \ delta}} {\ sqrt {2}} \ langle \ alpha | \ alpha \ rangle dx [/ math]
[matemáticas] = (1+ \ cos (\ delta)) dx [/ matemáticas]
Esto muestra un patrón de interferencia obvio. La integración de [math] x = – \ infty [/ math] a [math] x = + \ infty [/ math] no funciona, obviamente, pero si tuviéramos que volver y considerar un caso más complejo que el obviamente estados de onda plana no física calcularíamos una envolvente de modulación que permitiría normalizar el estado final y obtendríamos una buena respuesta.
Bien, ¿y qué hay de agregar una medida? Bueno, lo que tenemos que hacer es crear un operador de medición y definir lo que hace. Lo llamaremos [math] \ mathcal {M} [/ math], y diremos que [math] \ mathcal {M} | A \ rangle = | A \ rangle, \ mathcal {M} | B \ rangle = 0 [/matemáticas]. En otras palabras, [math] \ mathcal {M} [/ math] representa un detector de algún tipo, ubicado junto a la ranura [math] A [/ math]. Si [math] \ mathcal {M} [/ math] se apaga, significa que un electrón ha pasado por la ranura [math] A [/ math]. Si no se dispara, entonces el electrón puede haber atravesado cualquiera de las ranuras, es decir, el detector solo funciona algunas veces.
Así que ahora analizamos el estado de los electrones para los cuales el detector realmente se apaga. Aplicamos el operador de medición a nuestro estado anterior y encontramos
[matemáticas] | \ psi_M (x) \ rangle = \ mathcal {M} \ left (| A \ rangle + | B \ rangle \ right) / \ sqrt {2} = | A \ rangle / \ sqrt {2} = | \ alpha \ rangle / \ sqrt {2} [/ math]
y por lo tanto
[matemáticas] \ langle \ psi_M (x) | \ psi_M (x) \ rangle = \ frac {1} {2} dx [/ math]
Boom, sin patrón de interferencia. Si analizamos el estado de las elecciones para las cuales el detector no se activa, obtenemos exactamente la misma respuesta que antes.
Tenga en cuenta que esto no tiene nada que ver con el tipo de detector que utilizamos o con lo delicado que es nuestro instrumento. Un aparato de medición de cualquier tipo que nos dice con seguridad que un electrón ha pasado a través de la ranura [matemática] A [/ matemática] sirve para aniquilar el estado cuántico correspondiente a los electrones que han pasado a través de la ranura [matemática] B [/ matemática]. Esto destruye el patrón de interferencia.
Lo interesante a tener en cuenta aquí, que es un sello distintivo de la interferencia cuántica, es que no es necesario que haya interferencia activa entre dos electrones individuales para crear un patrón de interferencia. Mientras el estado cuántico de cada electrón siga siendo una superposición de [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas], se formará el patrón. En otras palabras (sueltas), los electrones no interfieren, las proteínas sí lo hacen.
