Este enlace tiene una buena discusión de por qué funciona el contorno semicircular: Ayuda con la prueba de fórmula de inversión de Bromwich.
Para resumir la justificación, la integral sobre las porciones semicirculares del contorno se evalúa a cero en el límite del radio del círculo infinito. Entonces, cuando agregamos la porción semicircular de la ruta a la ruta vertical que viene empaquetada con la integral de Bromwich, estamos agregando 0. Pero agregar este semicírculo a la ruta para crear un circuito cerrado hace que la integral sea mucho más fácil de resolver porque El ciclo cerrado nos permite evaluar la integral utilizando el Teorema de Residuos de Cauchy.
Editar: Se me ocurrió que el OP en realidad podría estar preguntando cómo se puede derivar el Bromwich Integral. Trabajar hacia atrás a través de las matemáticas en este enlace muestra esto directamente: con respecto a la forma integral de la transformada inversa de Laplace
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