El interés moderno en la teoría de Chern-Simons se remonta a un artículo de 1989 de Witten (teoría de campo cuántico y el polinomio de Jones) en el que explica cómo la teoría de Chern-Simons debería codificar un invariante de nudo llamado polinomio de Jones. Los nudos son bastante difíciles de distinguir, por lo que es útil para comprender mejor los invariantes de nudos. Por ejemplo, los nudos
y
se ven bastante diferentes, y se enumeraron como diferentes en las tablas de nudos, ¡pero en realidad son el mismo nudo! (Par Perko)
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La definición de Witten del polinomio de Jones en términos de la teoría de Chern-Simons responde a una pregunta de Atiyah, que quería saber si había una definición “intrínsecamente tridimensional” del polinomio de Jones. La forma más fácil de definir el polinomio de Jones es “bidimensional”: debe elegir un diagrama de nudos, hacer algunos cálculos con él y luego demostrar que ese cálculo no depende del diagrama de nudos que eligió. Esto es conceptualmente insatisfactorio; Por ejemplo, el polinomio de Alexander es un nudo de aspecto similar invariante, pero se puede definir únicamente en términos de la topología de un nudo en sí, en lugar de un diagrama de él.
La teoría de Chern-Simons en sí misma es un objeto matemático aún más interesante. Es lo que se llama una teoría de campo cuántico topológico, y en particular asigna datos interesantes a múltiples dimensiones de 3 o menos, todo lo cual debe estar estrechamente relacionado en formas que no explicaré:
- Los datos que Chern-Simons asigna a 3 múltiples, en términos generales, generalizan el polinomio de Jones.
- Los datos que Chern-Simons asigna a 2-múltiples están relacionados con una teoría de campo conformado bidimensional llamada modelo de Wess-Zumino-Witten, y en particular ofrece representaciones de grupos de clases de mapeo.
- Los datos que Chern-Simons asigna a 1-manifolds están relacionados con los grupos Quantum (que también se pueden usar para definir el polinomio de Jones) y los grupos Loop. Vea la construcción de Reshetikhin-Turaev en nLab para algunos detalles. Se sabe que lo que Chern-Simons asigna a un círculo debe ser suficiente para reconstruir lo que asigna a 2 múltiples y 3 múltiples.
(Los datos que Chern-Simons asigna a múltiples 0 son un poco más oscuros; no sé si hay una conjetura universalmente acordada aquí, pero recientemente pregunté sobre esto en MO: ¿Qué se espera que asigne la teoría de Chern-Simons? un punto? También se sabe que lo que Chern-Simons asigna a un punto debe ser suficiente para reconstruir toda la teoría).
Esta historia es una gran parte de una interacción emocionante entre física y matemáticas, parte de la cual se conoce con el nombre de topología cuántica (aunque el artículo de Wikipedia sobre esto no es muy bueno; probablemente sea mejor leer [0903.0340] Física, topología , Lógica y computación: una piedra de Rosetta en su lugar). La topología cuántica ya es fascinante por sus méritos matemáticos, al menos para mí, pero también podría ser útil para ayudarnos a construir computadoras cuánticas (computadora cuántica topológica).
