Quora User Quora User me envió recientemente un artículo de Sherri Novis-Livengood, Richard White y Patrick CM Wong titulado La complejidad fractal (1 / f ley de potencia) determina la estabilidad de la percepción musical, la emoción y la memoria en un paradigma de exposición repetida. (El artículo no está en la web abierta, pero aquí hay una versión de póster). Los autores piensan que los fractales explican nuestras preferencias musicales. Específicamente, encuentran que las duraciones de las notas, los intervalos de tono, la duración de las frases y otros parámetros musicales cuantificables tienden a seguir una distribución de la ley de potencia. Las distribuciones de la ley de poder tienen la ingeniosa propiedad de la invariancia de escala, lo que significa que los patrones en tales entidades se parecen a diferentes escalas. La música está llena de fractales, y cuanto más llena de fractales, más nos gusta.
Los fractales nos rodean: en las nubes, los árboles, las montañas, las costas y nuestros propios cuerpos. Básicamente, todo lo que disfrutamos tiene una calidad fractal. Por lo tanto, no es una gran sorpresa que lo mismo sea cierto para las cosas que también disfrutamos escuchar.
Es fácil comprender qué es un fractal mirando imágenes. No es tan fácil imaginar cuál sería el análogo musical. Puedes pensar en un fractal musical como grupos de eventos que se combinan para formar grupos de eventos más grandes, que a su vez combinan grupos aún más grandes: bucles dentro de bucles dentro de bucles. Cada grupo refleja la forma del todo, en el contorno de tono o patrones de tensión y resolución o lo que sea.
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Entonces, ¿a qué se refiere 1 / f?
Aquí hay algunos antecedentes de Scholarpedia:
El ruido 1 / f se refiere al fenómeno de la densidad espectral, S (f), de un proceso estocástico, que tiene la forma S (f) = constante / fα, donde f es frecuencia, en un intervalo delimitado desde cero e infinito .
También conocido como ruido rosa, el ruido 1 / f es un intermedio entre el ruido blanco y el ruido de caminata aleatoria (movimiento browniano). El ruido blanco no tiene correlación entre elementos en el tiempo, mientras que el movimiento browniano no tiene correlación entre incrementos. Dato curioso: el movimiento browniano es la integral del ruido blanco. Sin embargo, no hay ecuaciones diferenciales simples, incluso lineales, que generen ruido 1 / f. La ocurrencia generalizada de ruido 1 / f en la naturaleza sugiere que podría existir una explicación matemática genérica, pero aún nadie sabe qué podría ser.
Fractales y 1 / f de ruido en biología
- La serie de tiempo formada por intervalos entre sucesivos picos de ECG del corazón humano.
- La influencia postural de una persona parada en una plataforma.
- Fluctuaciones en la densidad temporal de los potenciales de acción, y la actividad de conjuntos de neuronas en cerebros animales en general.
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Fractales y 1 / f de ruido en la música
- El espectro de potencia de las fluctuaciones de intensidad en una grabación del Concierto número 1 de Brandeburgo de Bach. Fluctuaciones de amplitud y tono en una amplia variedad de otras grabaciones musicales.
- Los espectros de potencia se encuentran en la variación de los ritmos, como caminar y tocar el dedo con un metrónomo.
- Procesos vocales relacionados con la producción de música, como patrones de aspiración y modulación de amplitud.
- La ruptura de Amén está llena de proporciones de oro, una forma específica de auto-similitud.
- La estructura de piezas de Stravinsky y Cage.
Un ejemplo concreto: autosimilitud en el blues
Traté de pensar en un buen ejemplo de música con una estructura fractal, y rápidamente toqué el blues de doce compases. El blues se trata de patrones de tres versus cuatro en diferentes escalas y a lo largo de diferentes ejes.
Ritmo:
- El ritmo aleatorio divide 4/4 veces en trillizos de corchea.
- Los trillizos de cuarto de nota, la hemiola y la polirritmia tres contra cuatro también aparecen con frecuencia.
- El formulario es de tres grupos de cuatro barras cada uno.
Armonía:
- Tanto la progresión de acordes I-IV-V como la escala pentatónica se pueden organizar alrededor del círculo de quintos / cuartos. Un cuarto perfecto son dos frecuencias con la relación 4: 3. Un quinto perfecto es el inverso, 3: 4.
- La armonía del blues se basa en el contraste entre los tercios mayores en los acordes (cuatro semitonos) y los tercios menores en la melodía (tres semitonos).
- En el acorde V, también obtienes siete naturales (cuatro semitonos por encima del quinto) versus siete planos en la melodía (tres semitonos por encima del quinto).
- Cuando pasas de I a I7 o de IV a IV7, estás cambiando de una tríada de tres notas a un séptimo acorde de cuatro notas.
- Los acordes disminuidos figuran en gran medida en el blues; consisten en cuatro grupos de tres semitonos cada uno.
El blues también tiene otra auto-similitud más general: cada frase de cuatro compases consiste en una llamada y una respuesta, y el formulario completo consta de dos frases de llamada respondidas por la frase de respuesta.
Entonces, ¿por qué nos gustan los fractales en primer lugar?
Dado que nuestros cerebros naturalmente muestran propiedades fractales en sus operaciones ordinarias, no debería sorprendernos que encontremos fractales interesantes. Livengood, White y Wong señalan que “[o] la complejidad fractal óptima, que se puede considerar en términos de una relación de imprevisibilidad a previsibilidad, provoca un estado de ánimo máximo y un rendimiento de memoria máximo”. ¿Pero por qué esta respuesta de placer? ¿Es solo una coincidencia sin sentido que disfrutemos de ver nuestros procesos mentales reflejados en nosotros? Tal vez. Pero tal vez haya algo más evolutivamente significativo en el trabajo. De hecho, los fractales pueden ser cruciales para nuestro bienestar. Vijay Sharma explica:
Cuando la complejidad fractal [en frecuencia cardíaca] se rompe, el desglose puede reflejar una cascada del sistema en una aleatoriedad verdadera o una reversión en orden periódico. La insuficiencia cardíaca puede conectar en cascada el sistema en cualquier dirección, produciendo un comportamiento aleatorio o periódico; En ambos casos, se ve que la complejidad fractal disminuye, y en ambos casos el efecto se asocia con una mayor mortalidad. Se ha descubierto que la complejidad fractal y el comportamiento caótico del corazón disminuyen con el envejecimiento, y también se cree que esta pérdida de complejidad es perjudicial.
¿Por qué es perjudicial la pérdida del comportamiento caótico? La pérdida del comportamiento caótico claramente crea una pérdida de flexibilidad en el sistema. Sin embargo, también conduce a una pérdida de almacenamiento y generación de información. La capacidad de almacenar y transmitir información se pierde porque el comportamiento aleatorio no tiene sentido y el comportamiento periódico simplemente repite la misma información una y otra vez. Esto se refleja en la pérdida de complejidad fractal en la señal de frecuencia cardíaca; se pierde el “efecto memoria” conferido por la estructura fractal. El comportamiento caótico es un comportamiento impredecible, y el comportamiento impredecible permite una “libertad de expresión” fisiológica; La clave para generar información útil es la capacidad de cambiar.
A veces las personas leen este tipo de análisis matemáticos de música y me acusan de ser demasiado intelectual o insensible. Para mí, sin embargo, la apreciación de la belleza matemática es inseparable de la apreciación de cualquier otro tipo de belleza. ¿Cuál es la diferencia entre la satisfacción que obtienes al escuchar música y la que obtienes al ver un árbol o una costa? No creo que haya uno.
Vea la versión original de esta publicación en mi blog, con muchas imágenes geniales.
suena como esto: 