Suponiendo que cada candado puede tener cualquier cantidad de copias de su clave requerida, este problema tiene dos partes:
1 / Demuestre que la cantidad de candados necesarios [matemática] P [/ matemática] es mayor o igual que la cantidad de subconjuntos de [matemática] K-1 [/ matemática] de [matemática] N [/ matemática] :
Digamos que los candados mínimos necesarios para que cualquier chico [matemático] K [/ matemático] colectivamente tenga todas las claves es [matemático] P [/ matemático], luego cualquier subconjunto de [matemático] K-1 [/ matemático] de [ math] N [/ math] necesitará al menos una tecla más para completar el conjunto de teclas [math] P [/ math]. Existen
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[matemáticas] \ dbinom {N} {K-1} [/ matemáticas]
subconjuntos tan distintos de chicos en total.
Ahora, cada subconjunto distinto de [matemática] K-1 [/ matemática] chicos [matemática] A_i [/ matemática] (para [matemática] i = 1 \ ldots \ binom {N} {K-1} [/ matemática]) se puede etiquetar de forma exclusiva con una de las teclas que requiere para completar el conjunto de teclas [matemáticas] P [/ matemáticas]. Este etiquetado es una inyección del conjunto de subconjuntos al conjunto de teclas de candado [math] P [/ math]. Podemos probar esto por contradicción porque si dos subconjuntos pudieran etiquetarse con la misma clave, entonces entre ellos esa clave faltaría y no tendrían todas las claves [matemáticas] P [/ matemáticas]. Sin embargo, dado que estos son dos subconjuntos distintos de [math] K-1 [/ math] chicos, deben tener colectivamente al menos [math] K [/ math] chicos entre ellos y, por lo tanto, todas las teclas [math] P [/ math] según nuestros requisito, una contradicción! Este etiquetado es, por lo tanto, una inyección, lo que significa que la cantidad de subconjuntos de personas [matemáticas] K-1 [/ matemáticas] es igual o menor que la cantidad de claves, en otras palabras
[matemáticas] \ dbinom {N} {K-1} \ le P [/ matemáticas]
2 / Demuestre que es posible construir una distribución de claves para lograr la igualdad en la relación anterior:
Ahora podemos tratar de minimizar [matemáticas] P [/ matemáticas] para que tengamos igualdad en la última relación, es decir
[matemáticas] \ dbinom {N} {K-1} = P [/ matemáticas]
Esto se puede lograr mediante la asignación de teclas de la siguiente manera: etiquete cada subconjunto con una de las teclas de candado [math] P [/ math], luego, para cada subconjunto que etiquetamos, dé el [math] N- (K-1) [ / math] chicos esta clave de candado en particular. De esta manera, cada chico recibe una llave de candado para cada subconjunto que los excluye, es decir, cada persona recibe
[matemáticas] \ dbinom {N-1} {K-1} [/ matemáticas]
llaves.
Por lo tanto, para cualquier subconjunto particular [math] A_i [/ math], el número de diferentes teclas de candado acumuladas aumenta en 1 para cada uno de los otros subconjuntos, esto se debe a que ninguno de los otros subconjuntos incluye a todos los miembros de [math] A_i [/ math] y, por lo tanto, al menos 1 miembro de [math] A_i [/ math] recibe una clave para cada otro subconjunto que etiquetamos. Ya que hay subconjuntos [matemática] P [/ matemática] hay [matemática] P-1 [/ matemática] otros subconjuntos que [matemática] A_i [/ matemática] por lo que los muchachos en [matemática] A_i [/ matemática] deben terminar con [matemáticas] P-1 [/ matemáticas] diferentes teclas de candado entre ellas.
Ahora, cualquiera de los subconjuntos [math] P [/ math] de los tipos [math] K-1 [/ math] obtendrán un juego completo de teclas de candado [math] P [/ math] cuando se unan por cualquier otro chico para hacer un subconjunto de [matemáticas] K [/ matemáticas] chicos. [matemáticas] \ qquad \ blacksquare [/ matemáticas]
Responder
[matemáticas] \ text {candados mínimos} = \ dbinom {N} {K-1} [/ math]
[matemáticas] \ text {teclas por persona} = \ dbinom {N-1} {K-1} [/ matemáticas]
[Editado para ampliar la explicación.]
