Teorema: cada número natural es interesante.
Prueba: Zero es interesante (es la identidad aditiva, por ejemplo).
Una es interesante (es la identidad multiplicativa, por ejemplo).
- Sean A y B dos números naturales. Suponga que cuando A se divide por n, el resto es a, y cuando B se divide por n, el resto es b. ¿Cómo se compara el resto cuando A + B se divide por n en comparación con el resto cuando a + b se divide por n?
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Ahora suponga que el número n es interesante, pero que n +1 no lo es.
Entonces n +1 sería el número natural sin interés más pequeño. ¡Pero eso lo haría muy interesante!
Por contradicción, QED.
Vale, vale, eso no fue una verdadera inducción.
Esta historia es muy parecida, aunque con una paradoja adicional y un final mucho más oscuro:
El primero de diciembre, el director de la prisión informa a un matemático en el corredor de la muerte: “Lo ejecutaremos a finales de año, en un día que no espera”.
¡El matemático se alegra de inmediato! El director de la prisión está completamente confundido por esta reacción y lo deja solo, ¡pero el matemático se da cuenta de que ha sido perdonada! Por el poder de la inducción:
No hay día en que se ejecute al matemático.
Supongamos que era la víspera de Año Nuevo (es decir, queda un día en el año). El matemático seguramente esperaría ser ejecutado, si todavía estuviera viva entonces. ¡Pero entonces seguramente esperaría ser ejecutada en la víspera de Año Nuevo, lo que significa que no puede serlo! Entonces (paso base) el matemático no será ejecutado en la víspera de Año Nuevo.
Ahora suponga que el matemático no será ejecutado con n días restantes en el año. Por el mismo razonamiento, el matemático esperaría que el día anterior, cuando faltan n +1 días, sea su día de ejecución, ¡pero por la misma lógica, por lo tanto, no puede ser el día de su ejecución! Entonces, si (paso de inducción) no se puede ejecutar en un día en particular, ¡tampoco se puede ejecutar el día anterior!
El matemático concluye con seguridad que no será ejecutada. El director de la prisión viene a buscarla dos días antes de Navidad y la ejecuta: ciertamente fue un día que no esperaba.
¡Bien! ¡Bien! Tiempo para una prueba de inducción válida real . Presentando, la isla de los matemáticos de ojos verdes.
Érase una vez, un dictador particularmente caprichoso capturó a cien matemáticos y los encarceló en una isla desierta. Él cubrió sus necesidades básicas, pero tenía la isla rodeada de guardias armados. Les dijo a los matemáticos (sinceramente) que había una salida: cada medianoche llegaría un bote al muelle, y cualquier matemático podría solicitar subir y ser llevado a cualquier lugar (fuera de la isla) que quisieran. El problema era que el capitán del barco había recibido instrucciones de obedecer a cualquier matemático si tenía ojos verdes, pero dispararles de inmediato si no lo hacía.
Durante años y años ningún matemático escapó. Esto fue extremadamente sorprendente, no menos importante para ellos, ¡de hecho, todos los matemáticos tenían ojos verdes! (Fue una manifestación física de sus intensos celos profesionales). Pero lo que el dictador se había asegurado era que no había espejos, ni superficies reflectantes, en la isla (bebían de las copas cubiertas y no podían ir a la playa durante el día , digamos): cada matemático podía ver los ojos de los demás pero no los suyos . Y, naturalmente, aunque mantuvieron una conversación cordial, no podían confiar el uno en el otro para decirles cuál era el color de sus ojos.
Un día, sin embargo, un aventurero se topó con la Isla de los Matemáticos de Ojos Verdes. Había escuchado muchas historias sobre la isla, y había venido preparado: se escabullía aquí y allá hasta llegar a la cabaña de radio, desde donde podía transmitir cualquier mensaje a todos los matemáticos a la vez. ¡Sabía que solo podía decir una frase, o de lo contrario quedaría atrapado en la cabaña de la radio y asesinado! Entonces la frase que sonó en los altavoces fue:
“¡Hay al menos un matemático de ojos verdes en la isla!”
El dictador escuchó la transmisión y corrió a la cabaña de radio, pero cuando llegó, ¡no se veía al aventurero por ninguna parte! Sin embargo, el dictador descansó fácilmente, razonando que el aventurero no les había dicho a los matemáticos nada que ya no supieran. Y de hecho, al pasar un día, y otro, y otro, el dictador olvidó por completo la interferencia del aventurero, hasta la medianoche número cien, cuando los cien matemáticos se alinearon en el muelle para el bote, y a la mañana siguiente todos los matemáticos se habían ido. .
¿Cómo descubrieron los matemáticos que tenían los ojos verdes?
Podemos mostrar cómo escaparon haciendo el siguiente reclamo:
Tomando el anuncio del aventurero como el Día 1, en el Día n , todos los matemáticos saben que todos los matemáticos saben que hay al menos n matemáticos de ojos verdes en la isla.
(Una vez que n = 100, todos los matemáticos saben que todos los matemáticos saben que todos los matemáticos tienen ojos verdes, pero, por supuesto, eso significa que cada uno tiene ojos verdes y pueden escapar de manera segura).
El caso base es obvio (es lo que el aventurero les dijo). El paso inductivo no es demasiado difícil. Pero antes de mostrarlo, es importante comprender la construcción de “todos los matemáticos sabían que todos los matemáticos sabían”, porque es clave para comprender su escape de la isla. Podemos hacer esto imaginando la isla más pequeña de matemáticos de ojos verdes, tan pequeña que solo alberga a dos matemáticos, Alice y Bob.
Alice y Bob tienen los ojos verdes. Entonces Alice sabe que Bob tiene los ojos verdes; Bob sabe que Alice tiene los ojos verdes. Pero no pueden comunicarse entre sí (porque ¿cuándo los matemáticos comunican algo?), Hasta que llega el aventurero y les permite construir simultáneamente y sin comunicación modelos idénticos de conocimiento global, sin jerga, ahora saben no solo lo que saber, pero lo que los demás saben. Lo cual, durante el primer día, es “Tanto yo como el otro matemático sabemos que aquí hay al menos un matemático de ojos verdes”. ¿Qué sucede cuando Alice y Bob se despiertan al día siguiente y descubren que ambos siguen allí?
- Alice sabe que Bob sabe que Alice tiene ojos verdes; si Alice no lo tuviera, por eliminación Bob sabría que él es el matemático de ojos verdes, y él escaparía.
- Pero Bob sabe que Alice sabe que Bob tiene ojos verdes, por la misma razón.
- ¡Ambos lo saben! Parten la siguiente medianoche.
Eso nos da el bosquejo de nuestro paso inductivo, para la isla más grande con cien matemáticos. Supongamos que el día n , todos los matemáticos saben que todos los matemáticos saben que hay al menos n matemáticos de ojos verdes en la isla. La medianoche va y viene, y el día n + 1 los matemáticos se despiertan y descubren que nadie ha escapado. ¿Qué pueden concluir? Si solo hubiera n (y no n + 1) matemáticos de ojos verdes, esos n matemáticos afortunados habrían mirado a su alrededor, contado solo n – 1 matemáticos de ojos verdes, se habrían dado cuenta de que tenían ojos verdes y habrían escapado de esa medianoche. Como tal, en el día n + 1, todos los matemáticos saben que todos los matemáticos saben que hay al menos n + 1 matemáticos de ojos verdes en la isla. Por inducción, QED.
(Por supuesto, hay muchas suposiciones sobre el comportamiento humano en la prueba anterior, pero todas son sensatas. Asumimos que todos los matemáticos son racionales, lo que a menudo es demasiado cierto en lugar de no lo suficientemente cierto; asumimos que todos ellos Sabemos que todos escucharon el mensaje, del cual podemos imaginar que charlan cuando hablan; y suponemos que todos saben que cualquiera de ellos escaparía si tuvieran certeza sobre sus ojos verdes, lo cual es un hecho, porque
¿Te acuerdas de que te dije que la isla estaba llena de tiza y pizarras? No, no lo hice. No hubo ninguno. Lo que más odiaban, y todos sabían que todos lo sabían).
Para obtener más información, consulte este PDF: http://www.math.cornell.edu/~mec… que incluye la deliciosa prueba de error “Todas las casas son del mismo color”, la prueba de error “Todos los números naturales son interesantes” , y más cosas aterradoras sobre dictadores. Para más información sobre la Isla de los matemáticos de ojos verdes, vea el video a continuación, en el que son filósofos y, por lo tanto, explican algo fascinante sobre el poder del conocimiento común.
