Los límites en el infinito realmente no son tan difíciles una vez que te hayas familiarizado con ellos, pero al principio, pueden parecer algo oscuros. La premisa básica de los límites en el infinito es que muchas funciones se acercan a un valor y específico a medida que su variable independiente se vuelve cada vez más grande o pequeña. Vamos a ver algunas funciones diferentes a medida que su variable independiente se acerca al infinito, así que comience una nueva hoja de trabajo llamada 04-Limits at Infinity, luego vuelva a crear el siguiente gráfico.
plot (1 / (x-3), x, -100, 100, randomize = False, plot_points = 10001) \
.show (xmin = -10, xmax = 10, ymin = -10, ymax = 10)
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En este gráfico, es bastante fácil ver que a medida que x se hace cada vez más grande o cada vez más pequeña, el valor y de f (x) se vuelve muy cercano a cero, aunque nunca es realmente igual a cero. Cuando la curva de una función sugiere una línea invisible en un cierto valor y (como en y = 0 en este gráfico), se dice que tiene una asíntota horizontal en ese valor y. Podemos usar límites para describir el comportamiento de la asíntota horizontal en este gráfico, como:
Intente configurar xmin como -100 y xmax como 100, y verá que f (x) se acerca mucho a cero cuando x es muy grande o muy pequeño. Que es lo que debe esperar, ya que uno dividido por un gran número naturalmente producirá un pequeño resultado.
El concepto de límites unilaterales se puede aplicar a la asíntota vertical en este ejemplo, ya que se puede ver que a medida que x se acerca a 3 desde la izquierda, la función se acerca al infinito negativo, y que a medida que x se acerca a 3 desde la derecha, la función se acerca infinito positivo, o:
y
Desafortunadamente, el comportamiento de las funciones cuando x se acerca al infinito positivo o negativo no siempre es tan fácil de describir. Si alguna vez te encuentras con un caso en el que no puedes discernir el comportamiento de una función en el infinito, ya sea que un gráfico no esté disponible o no sea muy claro, imagina qué tipo de valores se producirían cuando diez mil o cien mil sustituido por x normalmente le dará una buena indicación de lo que hace la función cuando x se acerca al infinito.
Poderes y excepciones
Analicemos un par de ejemplos no tan directos sobre los límites en el infinito para garantizar una comprensión completa de cómo funcionan. Echa un vistazo a esta función extrañamente parecida a un pájaro:
plot ((2 * x ^ 4 + x ^ 2 + 2) / (x ^ 4 + 1), x, -4, 4) .show (xmin = -3, xmax = 3, ymin = -1, ymax = 2.5)
Alternar números de línea
El gráfico lo delata; El límite de la función cuando x se acerca al infinito positivo o negativo es dos. Pero, ¿y si no tuviéramos el gráfico? En realidad, hay un par de pistas sobre el valor de la función en ambos infinitos. Compare el numerador con el denominador: ¿ve cómo la “potencia más alta” de cada polinomio es 4? El numerador tiene 2 * x
4 4
y el denominador tiene simplemente x
4 4
. Quizás veas a dónde va esto, ¿qué obtienes cuando divides 2 * x?
4 4
por x
4 4
? Por qué, 2 por supuesto. En pocas palabras, cuando el numerador y el denominador de una función tienen la misma potencia, cuando los máximos exponentes de x entre la parte superior e inferior de la fracción coinciden, la función tendrá una asíntota horizontal en y igual a (coeficiente de potencia más alta del numerador) / (coeficiente de máxima potencia del denominador).
Bueno … tal vez eso no fue tan simple. Permítanme reiterar con un caso general. Para una función como esta:
Suponiendo que n es el máximo exponente tanto del numerador como del denominador y que a y b son coeficientes:
Sin embargo, para que este truco funcione, la función debe ser una expresión racional (un polinomio dividido por otro) y no puede tener funciones trigonométricas u otras funciones especiales en el numerador o denominador. Por ejemplo, la asíntota horizontal de la siguiente función no se puede encontrar utilizando el método anterior, ya que se refiere a una expresión donde x es un exponente.
Sin embargo, antes de graficar esta función para ver si y dónde tiene una asíntota horizontal, intentemos un poco de análisis lógico. Primero, ¿cuál crecerá más rápido, e ^ x o 5 ^ x? La evaluación de ‘float (e)’ en SageMath le dirá que el número e de Euler es aproximadamente 2.7182818284590451, por lo que 5 ^ x crecerá más rápidamente que e ^ x. Pero, ¿qué pasa con el 2 * x en el denominador? Considere el crecimiento, ahora, de 5 ^ x en relación con 2 * x. Cuando x es 5, el primero evalúa a 3125 mientras que el segundo evalúa a 10. Lo que debe deducir de esto es que 5 ^ x triunfa sobre todos; A medida que x se aproxima al infinito positivo o negativo, la función se convertirá en el cociente de un número grande (e ^ x) dividido por un número realmente grande que solo continúa creciendo. En otras palabras, uno podría escribir esto como:
Y tada! Ahí tienes. Comparar los crecimientos relativos es otra forma de determinar el comportamiento de una función a medida que su variable independiente se acerca al infinito. Continúe leyendo para aprender sobre el tipo de función final de esta lección, las que oscilan.
Funciones oscilantes
trama (sin (x), x, -10, 10)
Alternar números de línea
Como la mayoría de las funciones trigonométricas, a medida que x se acerca al infinito positivo o negativo, la función sinusoidal continúa saltando hacia arriba y hacia abajo. Una función oscilante es aquella que continúa moviéndose entre dos o más valores a medida que su variable independiente (x) se acerca al infinito positivo o negativo. El límite de una función oscilante f (x) cuando x se acerca al infinito positivo o negativo no está definido. En el diagrama que acaba de crear, intente reemplazar ‘sin’ con varias otras funciones trigonométricas como ‘cos’, ‘tan’, ‘sec’, ‘csc’, ‘cot’ o cualquiera de las funciones de arco (como ‘ arctan ‘) para observar si oscilan o si tienen una asíntota horizontal cuando x se acerca al infinito positivo o negativo.
Sin embargo, el siguiente gráfico se comporta de manera diferente, como puede observar:
plot (sin (x) / x, x, -100, 100) .show (ymin = -1)
Alternar números de línea
Aunque la función oscila indefinidamente debido a la función seno en su numerador, puedo decirle sin lugar a dudas que el límite de la función a medida que x se acerca al infinito positivo o negativo sigue siendo cero. ¿Pero por qué es esto? El seno de un número realmente grande todavía debe estar en algún lugar en el rango de -1 y 1, mientras que el denominador simplemente será un número realmente grande. Si creamos una tabla de valores, podemos observar el comportamiento de la función cuando x es grande. Use el siguiente código para crear dicha tabla.
def f (x):
devuelve sin (x) / x
tabla def ():
imprimir ‘| x | f (x) | ‘
imprimir ‘| ——————- |’
para x en [10000..10010]:
print ‘|% 6i | % + f | ‘% (x, f (x))
mesa()
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Hay otra forma de demostrar que el límite de sin (x) / x cuando x se acerca al infinito positivo o negativo es cero. Ya sea que haya oído hablar de él como el teorema del pinzamiento, el teorema del sándwich o el teorema de compresión , como me referiré aquí, el teorema de compresión dice que para tres funciones g (x), f (x) y h (x) ,
Si
y
,
entonces
.
Para aplicar este teorema, tenemos que encontrar una función g (x) que sea menor que f (x), así como una función h (x) que sea mayor que f (x). Como sin (x) siempre está en algún lugar en el rango de -1 y 1, podemos establecer g (x) igual a -1 / x y h (x) igual a 1 / x. Sabemos que el límite de -1 / x y 1 / x cuando x se acerca al infinito positivo o negativo es cero, por lo tanto, el límite de sin (x) / x cuando x se acerca al infinito positivo o negativo es cero. Uno podría escribir esto como:
Dado que
y
,
ya que
para todo x en
y
,
resulta que
.
