Intuitivamente, ¿qué dice la desigualdad del triángulo cuando se usa en pruebas relacionadas con espacios métricos? ¿Es tan simple como decir que dos puntos cercanos al tercer punto están cerca uno del otro?

Dice un poco más, pero esa es más o menos la esencia.

Dice no solo que los dos puntos están cerca el uno del otro, sino que pone un límite sobre cuán separados pueden estar, es decir, no pueden estar más separados que la suma de las distancias desde esos dos puntos hasta el tercer punto. .

Es sorprendente que esta condición, que no parece decir mucho, le permite decir mucho sobre un espacio métrico.

Hay un par de otras condiciones, pero no son demasiadas. (1) la distancia desde un punto a sí mismo es 0, pero la distancia entre puntos distintos es mayor que 0, y (2) la distancia entre dos puntos es la misma, cualquiera que nombre primero.

Cuando va de A a B, también es posible pasar por C, por lo tanto, la distancia más corta entre A y B solo puede ser más corta o igual que ir por C.

El esfuerzo de traducir francés al inglés es como mucho el esfuerzo de traducir francés al alemán y luego alemán al inglés. Por supuesto, usar el alemán como idioma intermedio es opcional, por lo tanto, traducir del francés al inglés solo puede ser más fácil.

Por si acaso, si solo tiene un traductor del francés al alemán y del alemán al francés, nada más, entonces el esfuerzo de traducir el francés al inglés sería el mismo que las dos traducciones. Realizaría dos llamadas de procedimiento en su software de traducción francés -> inglés. Entonces, en ese caso, la desigualdad del triángulo sería estrecha.

Es tan simple como: si tiene tres puntos en un espacio métrico, la distancia entre dos de ellos siempre es menor o igual que la suma de las otras dos distancias. Como en un triangulo. Es una propiedad básica del concepto (abstracto) de distancia.

Está diciendo que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. No puede llegar a su destino más rápido tomando un desvío.