¿Por qué usamos el ‘conjunto de números reales’ para describir la realidad física? ¿Hay alternativas?

TL’DR
Las representaciones matemáticas de desarrollos prácticos en ciencia e ingeniería condicionan y limitan las interpretaciones de la realidad. En la práctica, los científicos necesitan representar la realidad y, al hacerlo, utilizan cualquier herramienta disponible para ellos. Si no parece existir, crean nuevas herramientas.

Versión larga
Llegué a darme cuenta de otra interpretación de conjuntos, sistemas de numeración y herramientas matemáticas cuando leí el trabajo de David Hestenes sobre álgebra geométrica. Mi interpretación de su pregunta es similar a la opinión de David Hestenes publicada en varias fuentes. En particular, su libro Nuevos fundamentos de la mecánica clásica (en el que introduce sujetos físicos en una nueva herramienta matemática) sigue las perspectivas y desarrollos sociales, históricos, técnicos y prácticos de cómo sucedieron las representaciones matemáticas utilizadas por el género humano y hechas por el género humano. por necesidad Tanto práctico como intelectual. Las matemáticas surgieron de los desarrollos naturales en la técnica y hasta hace poco las matemáticas se convirtieron en una ciencia abstracta.

Blaise Pascal desarrolló la teoría de la probabilidad porque un grupo de jugadores preguntó cuáles eran las probabilidades de que ocurrieran ciertos números al hacer apuestas y juegos de azar. Desarrolló una nueva teoría y formas para representar patrones en juegos por necesidad práctica.

Las matemáticas y la ciencia de lo antiguo eran geometrías sintetizadas en la geometría de Euclide. Todo tenía sentido hasta que encontraron una magnitud que no podía representarse con números enteros y, por lo tanto, se llamaba “irracional”; así, nació un nuevo conjunto de números con un conjunto dado de propiedades. El nuevo conjunto de números todavía representaba lo que era real. La longitud de la diagonal de un cuadrado de lados uno.
Del mismo modo, una comunidad de pensadores, ingenieros y científicos como Proclus, Saccheri, Carl Gauss, Bolyai, Lobachevsky, Russell, Hilbert y Einstein, entre muchos otros, encontraron defectos lógicos contradictorios que a su vez tuvieron implicaciones en nuestra concepción de la realidad y, por lo tanto, en nuestra faltaban herramientas regulares para representar la realidad. Y como asco, se desarrolló una nueva geometría para corregir su propia lógica interna. Las matemáticas se dividieron en dos ramas: matemáticas prácticas y matemáticas abstractas.

El desarrollo de las herramientas matemáticas que nos ayudan a comprender nuestro mundo, en el caso de la física, ocurre con nuevos desarrollos teóricos sobre física que luego se extendieron a otras ciencias, incluidas las matemáticas abstractas.

La interpretación lógica que encuentro al usar números enteros (y números racionales) en ciencia es doble:
Antropológico: el lenguaje desarrolló números cardinales para ordenar y determinar los elementos de un conjunto de cosas (1 manzana, 1 niño, 3 lunas, cazar 1 mamut de modo que la tribu se alimente)
Técnico y teórico: cuando los estudiantes y los científicos estudian una nueva materia, la materia generalmente se presenta como una introducción a nuevas representaciones simbólicas de interpretaciones conceptuales de la realidad que evolucionan gradualmente a medida que se profundiza la comprensión de la materia y las cuestiones teóricas relacionadas. Además, se profundiza a medida que uno se sumerge en el campo.

También es importante tener en cuenta lo obvio, no tan obvio. Los números enteros no son suficientes para representar la realidad más plenamente. Esa es la clave en nuestra elección de alternativas matemáticas.

Perdón por la larga redacción.

Puede leer la propia interpretación de David Hestenes de números y representaciones matemáticas a lo largo de la historia en el capítulo uno en esta vista previa de Google:
https://books.google.co.ve/books … No pude encontrar una mejor URL. Excelente libro

Utilizamos geometría euclidiana para modelar el espacio físico. Funciona bien para los tamaños habituales que consideramos, desde partículas subatómicas hasta distancias intergalácticas. Se suponía que era el espacio de la física newtoniana y de todas las demás físicas hasta el siglo XIX. Se necesitan modificaciones para la relatividad general, pero los modelos de espacio en relatividad general son localmente euclidianos. Los modelos cosmológicos también son localmente euclidianos.

Todos estos son modelos. En realidad, no podemos medir la distancia entre dos puntos físicos más allá de cierto grado de precisión. De hecho, ni siquiera podemos identificar la ubicación de una sola cosa física más allá de cierto grado de precisión. Entonces, aunque podemos bisecar repetidamente un segmento de línea en geometría euclidiana hasta el infinito, no podemos bisecar repetidamente un segmento de línea física.

Por lo tanto, aunque en geometría euclidiana podemos afirmar que la razón de la diagonal de un cuadrado a su lado es exactamente [matemática] \ sqrt2, [/ matemática] solo podemos aproximar esa proporción si hacemos mediciones en cuadrados físicos (que, de por supuesto, solo son aproximadamente cuadrados de todos modos).

Tenga en cuenta que [math] \ sqrt2 [/ math] es un número irracional, pero es un número finito. No es infinito Al ser un número finito, está totalmente de acuerdo en que la longitud de la diagonal de un cuadrado es finita.

Pregunta si hay alternativas. Para la mayoría de los propósitos, cualquier alternativa sería más complicada y no aportaría ninguna idea. Sin embargo, en el nivel cuántico, los físicos han propuesto una serie de alternativas para explicar lo que está sucediendo. Algunos son discretos, otros continuos y se basan de alguna manera en los números reales.

Hay muchas alternativas, pero creo que podré convencerte de que, en cierto sentido, los números reales son la mejor solución que hemos encontrado. Permíteme ilustrarte esto con un breve resumen de cómo se construyen los reales.

Comenzamos con los números naturales: 1, 2, 3, 4, … Estos tienen una interpretación física muy obvia como contar números. Solo tener esto ya es muy útil, pero queremos hacer más. Entonces, se nos ocurre la idea de 0 y los números negativos para capturar la idea de nada y la ausencia de algo. De este modo formamos los enteros, denotados por [math] \ mathbb {Z} [/ math].

Los enteros son muy agradables porque se cerraron mediante la suma, la resta y la multiplicación. Sin embargo, no están cerrados por división, y realmente no nos permiten modelar muy bien la idea de “parte de algo”. Entonces, nos permitimos dividir por cualquier número que no sea cero, y de esta manera obtenemos todas las fracciones, o números racionales, denotados por [math] \ mathbb {Q} [/ math].

Tenga en cuenta que ya hemos tenido que comprometernos un poco. Si queremos escribir [math] \ frac {1} {3} [/ math] en base 10, obtenemos que es [math] 0.3333333 … [/ math]: la representación decimal de la mayoría de los números racionales continúa para siempre ( aunque siempre se repetirá después de cierto número de dígitos). Aún así, siempre podemos representar cualquier número racional por un número finito de enteros, por lo que no hemos hecho nada loco.

¡Pero esto todavía no es suficiente! No es tan difícil demostrar que [math] \ sqrt {2} [/ math] no es un número racional. Podríamos rendirnos y afirmar que [math] \ sqrt {2} [/ math] no existe, pero la geometría euclidiana nos dice que esa debería ser la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo unitario. ¿Cómo puede algo no existir si es la longitud de algo que puedes dibujar?

Hasta cierto punto, podemos solucionar este problema diciendo que no se puede dibujar un triángulo ideal: solo se pueden saber tantos decimales. En este sentido, podríamos usar, en lugar de los números reales, aritmética de coma flotante. La forma en que esto funciona es que tiene un número dado de puntos decimales, suma / multiplica / resta / divide de la manera habitual, y luego arroja todos los lugares decimales “extra”. En esta concepción, podríamos tener:

[matemáticas] \ sqrt {2} = 1.414 [/ matemáticas]

Pero esta no es una solución ideal, porque luego comienza a importar en qué orden sumas las cosas, en qué orden multiplicas las cosas, en qué orden tomas poderes. Para el ejemplo anterior:

[matemáticas] (\ sqrt {2}) ^ 2 = (1.414) ^ 2 = 1.999 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {2 ^ 2} = \ sqrt {4} = 2 [/ matemáticas]

Definitivamente puede usar sistemas de números que no son asociativos (es decir, el orden importa). Estrictamente hablando, la mayoría de los cálculos prácticos se realizan de manera más o menos similar (es un poco más complicado porque idealmente se realiza un seguimiento del posible error en el cálculo). Sin embargo, para cualquier tipo de trabajo teórico, es realmente difícil trabajar con esto. Francamente, parece una solución muy fea.

Usted menciona que la expansión decimal de [math] \ sqrt {2} [/ math] continúa para siempre. Esto es cierto, pero eso no significa que tenga un comportamiento mucho peor que los números racionales (y, por cierto, ya que [math] 1 <\ sqrt {2} <2 [/ math], es mucho finito). De hecho, existen métodos para representar cualquier número algebraico (es decir, un número que satisface alguna ecuación polinómica [matemática] a_n X ^ n + \ ldots a_1 X + a_0 = 0 [/ matemática] donde todos los coeficientes [matemática] a_i \ en \ mathbb {Q} [/ math]) por una secuencia de números naturales que eventualmente comienza a repetirse: esta es la expansión de fracción continua.

Por lo tanto, podemos incluir todos los números algebraicos para que funcione un sistema de números incluso grande (en realidad, esto no es del todo correcto, porque nos gustaría evitar números algebraicos complejos como [math] i [/ math]) . Esto proporciona un campo muy grande de números algebraicos reales, que se escribiría como [math] \ overline {\ mathbb {Q}} \ cap \ mathbb {R} [/ math]. Podríamos contentarnos con eso (o, tal vez mejor, podríamos usar todos los números algebraicos, [math] \ overline {\ mathbb {Q}} [/ math]).

¡Pero esto todavía deja las cosas fuera! [math] \ pi [/ math] es trascendental, lo que quiere decir que no es algebraico. Pero es la razón de la circunferencia de un círculo y su diámetro. ¿Cómo podemos ignorarlo? Bueno, de nuevo, podríamos usar el truco familiar de señalar que nunca podemos realmente dibujar un círculo perfecto. Eso es bueno, pero insatisfactorio.

[math] \ pi [/ math] podría no ser una solución para ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales, pero tiene otra buena propiedad: puede escribir un algoritmo que, con el tiempo suficiente, escupirá cualquier dígito de [math] \ pi [/ math] que pueda desear. Es decir, es computable.

Esta es una buena propiedad. Agreguemos cada número computable a nuestro sistema numérico. Esto nos da [math] \ pi [/ math] y [math] e [/ math], y esencialmente cualquier otro número con el que trabajes en la vida real. Hay una rama de la filosofía llamada constructivismo: ciertas escuelas de pensamiento constructivistas prefieren usar los números computables.

¡Pero todavía no hemos capturado todo! Como resultado, también hay una gran cantidad de números incuestionables, para los cuales no se puede dar un algoritmo que le dará ningún dígito en tiempo finito. Pero, ¿seguramente podemos ignorarlos? No exactamente. Cada número tiene todavía una expansión decimal. Digamos que una pieza finita parece 0.298154 …

Luego existen secuencias de números que se acercan cada vez más a este número inconfundible, por ejemplo, 0.2, 0.29, 0.298, 0.2981, … (se obtiene la imagen). En el cálculo y otras aplicaciones, a menudo queremos considerar secuencias de números convergentes (esto nos da la noción de continuidad y, por lo tanto, la de derivada e integral). Pero si no está garantizado que cualquier secuencia que se acerque más y más a algo convergerá de hecho a un número que está dispuesto a considerar, entonces tiene que saltar a través de aros adicionales para asegurarse de que todo funcione bien.

Esto finalmente nos lleva a los números reales, [math] \ mathbb {R} [/ math]. Estos tienen la propiedad especial de que cualquier secuencia cuyos términos se acerquen cada vez más se acercará cada vez más a un número real. Esto no es cierto para ningún sistema de números más pequeño que contenga números racionales, y es la razón principal por la que nos gustan tanto los números reales.

Podríamos ir más allá: podríamos considerar los números complejos [math] \ mathbb {C} [/ math] y los hiperreales [math] ^ * \ mathbb {R} [/ math]. Pero esta publicación ya es lo suficientemente larga como para forzar la razón, por lo que lo dejaré como una discusión para otro momento.

Bueno, los números reales son el primer conjunto natural, más allá de los números de conteo y los enteros y racionales para usar, porque corresponden a cantidades que podemos medir directamente. Podemos medir 2.756 metros. No podemos medir 2.756i metros.

Dicho esto, los números complejos son absolutamente indispensables para describir la realidad con las matemáticas. Vemos muchos casos en los que hay formas alternativas de expresar las matemáticas o hacer los cálculos, y cuando usamos números complejos, las matemáticas y los cálculos son más rápidos y elegantes. Una razón es que en números complejos, seno y coseno son solo parte de la función exponencial.

Seguro. En un momento utilizamos unidades inglesas habituales y la distancia medida como un conjunto de enteros, dando millas, yardas, pies y pulgadas. Más de una pulgada y luego comenzaron a usar cosas como “granos de cebada” como unidad de medida. En algún momento se usaron fracciones, por ejemplo, 1/2 pulgada, 1/8 pulgada. Usar números reales vino después. Obviamente, lo que hacemos hoy hace que el cálculo sea mucho más fácil.

Además, sqrt (2) es finito.