No estoy seguro de lo que podría agregar a: “En el tratamiento matemático de la mecánica cuántica, el teorema puede verse como una justificación para la notación popular de brackets . El teorema dice que, cada sujetador [matemático] \ langle \ psi | [/ matemático] tiene un ket [matemático] | \ psi \ rangle [/ matemático] correspondiente, y este último es único ”. [Teorema de representación de Riesz – Wikipedia, el cursiva es mío.] Excepto que cambiaría para decir que “cada vector de estado (puro) [matemático] | \ psi \ rangle [/ math] llamado ket tiene un correspondiente [math] \ langle \ psi | [/ math] funcional llamado bra, y este último es único, con respecto a un producto escalar elegido sobre los kets. Ver también la respuesta de Tristan Hubsch a ¿Cuál es la importancia de un teorema de espacio dual y Riesz en la mecánica cuántica?
(en respuesta a la reiteración de la pregunta)
El formalismo [math] \ langle \ text {bra} | [/ math] – [math] | \ text {ket} \ rangle [/ math] puede usarse en toda la física cuántica, y uno podría preguntarse en cada etapa cuál es el implicación física En su mayor parte, el análisis estándar se centra en estados puros, cada uno de los cuales es representable por un ket, [math] | \ Psi (t) \ rangle [/ math]. Luego, el corchete [matemáticas] \ langle \ Phi (t + \ tau) | \ hat {\ mathcal {O}} | \ Psi (t) \ rangle [/ math] calcula la amplitud de probabilidad de que el sistema (1 ) identificado en el momento [math] t [/ math] para estar en el estado [math] | \ Psi (t) \ rangle [/ math], (2) por acción del operador [math] \ hat {\ mathcal { O}} [/ math], (3) se puede encontrar (algún tiempo [math] \ tau [/ math] más adelante) en el estado [math] | \ Phi (t + \ tau) \ rangle [/ math]. Si hay más [math] \ langle \ text {bra} | [/ math] s que [math] | \ text {ket} \ rangle [/ math] s, como es el caso con triples espaciales de Hilbert aparejados, entonces necesita determinar por separado el espacio de [math] \ langle \ text {bra} | [/ math] s, para poder garantizar una integridad en el cálculo de todos los resultados. Esta insistencia en la completitud puede parecer un punto crítico, pero de hecho es bastante relevante ya en cálculos bastante simples, como la teoría de perturbación de estado estacionario. Allí, se ha factorizado la dependencia del tiempo y la fórmula estándar para la perturbación de segundo orden de la energía del estado [matemático] n [/ matemático] es
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[matemáticas] \ triángulo E_n ^ {(2)} = – \ sum_ {m \ neq n} \ frac {| \ langle m | \ hat {H} {} ‘| n \ rangle | ^ 2} {E_m ^ { (0)} – E_n ^ {(0)}} [/ matemáticas]
donde [math] \ hat {H} {} ‘[/ math] es la perturbación en el total de Hamilton.
Esta suma se aplica a todos [math] \ langle m | [/ math] s (que no sea [math] \ langle n | [/ math] y suponiendo que no haya degeneración), por lo que es de importancia clave saber si los bras [math] ] \ langle m | [/ math] están en correspondencia 1–1 con los [math] | n \ rangle [/ math] o no. Dada la interpretación anterior de bra-ket [matemática] \ langle m | \ hat {H} {} ‘| n \ rangle [/ matemática], el resultado de perturbación de segundo orden puede interpretarse como una transición (virtual), por acción del operador de perturbación [math] \ hat {H} {} ‘[/ math], desde [math] | n \ rangle [/ math] a “all all [math] | m \ rangle [/ math] s” y atrás — por el efecto acumulativo del cual ciertamente importa cuántas [math] | m \ rangle [/ math] s hay.
Hay otros resultados en los que ocurren los [math] \ langle \ text {bra} | [/ math] s, y se están sumando, de modo que existe una consecuencia física directa de una posible falta de isomorfismo entre el espacio vectorial del [math] | \ text {ket} \ rangle [/ math] sy las [math] \ langle \ text {bra} | [/ math] s.
Sin embargo, el estado genérico de cualquier sistema físico ni siquiera es puro, sino que es mixto. Suponiendo el teorema de Riesz, tal operador de estado (matriz de densidad) de estados mixtos se puede escribir como combinaciones convexas de proyectores
[matemáticas] \ hat \ rho = \ sum_r \ rho_r | r \ rangle \ langle r | [/ math],
donde [math] 0 \ leq \ rho_r \ leq1 [/ math] y [math] \ sum_r \ rho_r = 1 [/ math], y los coeficientes [math] \ rho_r [/ math] adquieren la interpretación de las probabilidades. Sin el teorema de Riesz, esta expresión sería más complicada, ya que tendría que implicar una suma separada sobre los kets y los sujetadores …
Me detendré aquí, y espero que esto ayude.
