¿Cuál es una explicación intuitiva para las funciones de Bessel?

Existe otra forma de ver las funciones de Bessel aparte de la imagen del tambor cilíndrico. Las funciones de Bessel surgen como soluciones a la ecuación de movimiento de los campos escalares (posiblemente masivos) en el espacio-tiempo anti-Sitter. La acción en cuestión es

[matemáticas] I [\ phi] = \ int (\ mathrm d \ phi \, \ mathrm \ wedge \ star \ mathrm d \ phi- \ star \, m ^ 2 \ phi ^ 2) [/ math]

donde [math] \ mathrm d [/ math] es la derivada exterior y [math] \ star [/ math] es el operador estelar de Hodge. Asumimos que la reacción inversa del campo escalar en el fondo [math] \ mathrm {AdS} _ {d + 1} [/ math] es insignificante y, por lo tanto, hemos excluido la métrica [math] g [/ math] del acción como una variable dinámica. La ecuación de movimiento invariante coordinada viene dada por

[matemática] (\ mathrm d ^ \ dagger \ mathrm d – m ^ 2) \ phi = 0. [/ math]

donde [math] \ mathrm d ^ \ dagger [/ math] denota el adjunto de la derivada exterior. Ahora elegimos las coordenadas del parche de Poincaré [matemáticas] (r, t, \ boldsymbol x) [/ matemáticas] en las que la métrica se convierte

[matemáticas] \ mathrm ds ^ 2 = \ frac {\ mathrm dr ^ 2 – \ mathrm dt ^ 2 + \ mathrm d \ boldsymbol x ^ 2} {r ^ 2} [/ math]

donde [math] \ mathrm d \ boldsymbol x ^ 2 [/ math] es la abreviatura de la métrica euclidiana habitual a lo largo de las direcciones espaciales de la “teoría del campo”. Debido a la invariancia de la traducción a lo largo de las direcciones de la teoría de campo, podemos elegir el ansatz

[matemáticas] \ phi (r, t, \ boldsymbol x) = \ varphi (r) e ^ {- i (\ omega t- \ boldsymbol {k} \ cdot \ boldsymbol {x})}. [/ math]

Entonces la ecuación para [math] \ varphi [/ math] se convierte en

[matemáticas] r ^ {1 + d} (r ^ {1-d} \ varphi ‘)’ + (m ^ 2-k ^ 2r ^ 2) \ varphi = 0 [/ matemáticas]

donde el primo denota derivada con respecto a [matemáticas] r [/ matemáticas] y [matemáticas] k ^ 2 = – \ omega ^ 2 + \ boldsymbol k ^ 2 [/ matemáticas]. Las soluciones a la ecuación anterior están dadas por

[matemáticas] \ varphi (r) = r ^ {d / 2} (\ varphi_1 J_ \ nu (kr) + \ varphi_0 Y_ \ nu (kr)) [/ math]

donde [math] J_ \ nu [/ math] y [math] Y_ \ nu [/ math] son ​​funciones de Bessel del primer y segundo tipo respectivamente, [math] \ varphi_1 [/ math] y [math] \ varphi_0 [/ math] son ​​constantes (que se puede considerar que dependen de [math] (\ omega, \ boldsymbol k) [/ math] en caso de que queramos hacer una transformada inversa de Fourier) y [math] \ nu [/ math] se proporciona por

[matemáticas] \ nu = \ sqrt {\ frac {d ^ 2} {4} + m ^ 2}. [/ matemáticas]

Los dos coeficientes [matemática] \ varphi_1 [/ matemática] y [matemática] \ varphi_0 [/ matemática] son ​​físicamente significativos en un contexto AdS / CFT. En la teoría dual que vive en el límite en [matemática] r = 0 [/ matemática], [matemática] \ varphi_0 [/ matemática] actúa como una fuente para su teoría de campo dual [matemática] \ matemática O [/ matemática] y [ math] \ varphi_1 [/ math] es proporcional al valor esperado [math] \ langle \ mathcal O \ rangle [/ math] (el último en realidad se desprende del primero y se puede demostrar que se mantiene usando una versión modificada del Hamilton– Formalismo de Jacobi para la relatividad general, con [matemáticas] r [/ matemáticas] tomando el lugar de [matemáticas] t [/ matemáticas]). Entonces, la relación [math] \ varphi_1 / \ varphi_0 [/ math] da la respuesta lineal. Adaptar la misma idea a otros tipos de campos, como los campos de medición y la cizalla, nos permite calcular cosas como la conductividad y la viscosidad utilizando AdS / CFT de manera bastante eficiente.

Permítanme abordar la pregunta desde el lado opuesto, porque esta misma pregunta me ha estado molestando por un tiempo, contento de que alguien realmente la haya hecho. La forma más intuitiva de explicarlos (que no tiene absolutamente nada que ver con la naturaleza cilíndrica de estas funciones o el papel que desempeñan en las ondas) es usar un enfoque en serie de la ecuación de Bessel y obtener una relación de recurrencia que le da a Bessel Funciona como la solución. Esto no solo no es intuitivo sino que también es muy inestable (para valores grandes de [math] n [/ math] la relación de recurrencia realmente falla). Casi todos los libros estadounidenses de física matemática incorporan las funciones de Bessel utilizando la relación de recurrencia desordenada mencionada anteriormente que no puede recordarse o no puede interpretarse de ninguna manera relacionada con la física. La forma intuitiva es introducirlos a través de la física de ondas. Lea un libro en oleadas (como el de Billingham y King de Cambridge Uni. Press), comprenderá que las funciones de Bessel son mucho mejores. La definición que me gusta es

[matemáticas] J_n (z) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {iz \ sin \ theta-in \ theta} d \ theta [/ math]

porque a partir de ahí puedes comenzar a discutir sobre la simetría cilíndrica y las ondas.