Hay dos “caras” de las matemáticas: la manipulación formal de símbolos en la página y las imágenes mentales que representa en forma simbólica. Faraday era un maestro de esto último, pero a Maxwell le llevó convertir las ideas intuitivas de Faraday en ecuaciones matemáticas. ¿Cuál es la “matemática real”? Sostengo que las imágenes mentales son, con mucho, el aspecto más importante y significativo de las matemáticas. El propio Maxwell creía que Faraday “había sido en realidad un matemático de muy alto nivel, de quien los matemáticos del futuro pueden obtener métodos valiosos y fértiles”. En otras palabras, espera que algún día las matemáticas se enseñen como imágenes mentales intuitivas, en lugar de los símbolos de engullido por los que se representan en la página.
Aquí hay una breve descripción intuitiva de la serie de intuiciones espaciales que desarrolló Faraday, que finalmente se incorporaron en las ecuaciones de Maxwell.
Campo escalar: imagine un volumen de espacio, cada punto del cual registra un valor separado y distinto. Por ejemplo, la presión de aire en una habitación se puede medir desde cualquier punto de la habitación, y si la habitación es lo suficientemente grande o tiene una corriente de aire suficiente, cada punto podría tener una presión de aire diferente. Ese es un campo escalar.
Campo vectorial: en una habitación grande, la presión cerca del piso será mayor que la presión cerca del techo. De hecho, hay un gradiente de presión en toda la habitación, con mayor presión hacia abajo y menor presión hacia arriba. Este gradiente se puede imaginar como un campo de vectores en todo el volumen, pequeñas flechas que apuntan de baja a alta presión, cuya longitud es proporcional al gradiente de la presión, o cuánto cambia con la distancia.
Gradiente, función Del: derivada vectorial de un campo escalar. Si el campo escalar es la presión del aire, el campo del vector es el gradiente de la presión del aire, o cómo cambia con la distancia en diferentes direcciones. En este ejemplo, hay un gradiente de presión de aire en cada punto.
Gradiente de un gradiente, función Del cuadrado: el gradiente de un campo escalar no siempre es uniforme. En una habitación pequeña, la caída de presión de aire con altura es casi constante, pero en una habitación lo suficientemente grande el aire se aplasta hacia el piso, y el gradiente del gradiente de presión de aire disminuye con la altura a una velocidad no uniforme, rápidamente a menor altura. alturas y más lento en alturas más altas.
Estas son deliciosas imágenes mentales que cualquiera puede imaginar. No es necesario ser un matemático profesional para disfrutar de estos conceptos.
Ahora prueba estas imágenes mentales. Una carga eléctrica emana un campo eléctrico a su alrededor. Se puede imaginar que una carga positiva está rodeada por vectores que apuntan hacia adentro hacia ella, con vectores grandes cerca de la carga, los vectores cada vez más pequeños con la distancia de la carga. Los vectores son más densos y concentrados cerca de la carga. Puede imaginar las líneas de campo que se conectan de un vector al siguiente en la dirección en que apuntan. Una partícula cargada tenderá a seguir estas líneas de campo hacia o lejos de la carga. Todas estas líneas convergerían en la carga positiva.
Ahora imagine un cubo de espacio cerca de la carga. Mientras el cubo no contenga una carga, el número de líneas de campo que ingresan al cuadro debe estar exactamente equilibrado por el número de líneas que salen del cuadro, incluso si las líneas están más concentradas en el lado más cercano a la carga. ¿Puedes imaginarlo? Es algo obvio si puedes formar la imagen mental correcta. Ahora, si localiza la carga dentro del cubo, la cantidad de líneas que fluyen hacia la caja es mucho mayor que la cantidad que fluye hacia afuera (si corresponde). En otras palabras, si puede integrar el número de líneas que entran y salen del volumen (en realidad puede tener cualquier forma o tamaño), puede determinar si ese volumen contiene una carga si la “integral de superficie” es cero o no. Para una analogía del agua, imagine una pecera con un tubo insertado, con agua bombeada dentro o fuera del tubo. Esto produce un “sumidero” o una “fuente” de agua en ese punto. Una integral de superficie de cualquier superficie que rodea ese punto registrará la entrada o salida total de todo ese volumen de espacio.
Estos son solo los componentes básicos, las imágenes mentales que se ensamblan y manipulan y finalmente se codifican en símbolos abstractos que forman las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell. Hay un tipo de genio requerido para crear las imágenes mentales. Se necesita otro tipo de genio para traducir esas deliciosas imágenes mentales al simbólico engullido que aprendemos en la escuela.
Un día, las matemáticas se enseñarán como deberían ser, como una práctica hermosa y elaborada de imágenes mentales. Esto finalmente colocará las matemáticas donde pertenece, junto con las otras artes estéticas de pintura, escultura, adorno, música, poesía y danza.
