Puede comenzar eligiendo una función para ser el homeomorfismo. Hasta que haya elegido la topología, los números reales son solo un conjunto no estructurado de cierta cardinalidad. El homeomorfismo [matemática] f [/ matemática] es una función uno a uno y sobre, cuyas órbitas son infinitas o finitas. No creo que importe mucho la biyección que elijas para ser el homeomorfismo. Por supuesto, no debe ser la identidad porque eso haría que las dos topologías fueran iguales. Otra respuesta sugiere correctamente que podría asumir que el homeomorfismo es simplemente [matemáticas] f (x) = x + 1 [/ matemáticas]. Cualquier otra biyección sin órbitas finitas es equivalente.
Debido a que la imagen inversa de los conjuntos en una topología bajo una biyección también es una topología, básicamente puede tomar una de las topologías que se definirá por eso. Así que ahora solo tiene que encontrar una topología tal que la topología que obtenga de esta manera sea estrictamente más gruesa de lo que es (o si [math] f [/ math] va a la otra, estrictamente más fina), lo que dice algo simple sobre la acción de [math] f [/ math] en los conjuntos abiertos de la topología.
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