¿Cómo se convirtieron las funciones trigonométricas en nuestra función predeterminada para modelar oscilaciones?

Has tenido muchas respuestas técnicas, todas verdaderas.
Pero si solo quieres una forma simple de verlo.
Considere el peso en un resorte. La fuerza, y por lo tanto la aceleración, es proporcional a la distancia desde el equilibrio y en la dirección opuesta.
Ie La distancia x como una función t, cuando se diferencia dos veces da la aceleración y será proporcional a -x.
El seno y el coseno son las únicas funciones que tienen esa propiedad.
Otra forma de verlo es que sin y cos son las proyecciones de un punto que se mueve suavemente alrededor de un círculo sobre los ejes x e y.
Este movimiento suave alrededor del círculo corresponde a la relación lineal entre desplazamiento y fuerza.

Si tenía un sistema con una relación no lineal entre fuerza y ​​distancia, supongamos que tenía amortiguadores. Entonces el movimiento no es sinusoidal, el resultado es una función diferente y en descomposición. Es como un punto que gira sobre un punto central pero pierde energía y se mueve continuamente hacia el punto de equilibrio central.

Matemáticamente, la solución a la ecuación gobernante termina en funciones seno / coseno.

Intuitivamente, si observa de cerca el fenómeno de las oscilaciones o vibraciones, el movimiento se repite después de un tiempo. ¡Estas están mejor representadas por las funciones periódicas que resultan ser funciones seno / coseno!

No estoy seguro de cuánto quieres saber. Es bastante obvio que cualquier movimiento periódico puede ser modelado en términos de senos y cosenos. El movimiento periódico tiene las mismas características de las funciones sinusoidales (amplitud, período, cambios de fase). Es como preguntar cómo la multiplicación se convirtió en la función de modelar la fuerza con respecto a la masa y la aceleración. Es porque son proporcionales y la masa y la aceleración están inversamente relacionadas. Es solo la función matemática más apropiada para la situación.

¿Por qué usarías sumas o funciones tangentes para el movimiento armónico? Estos no comparten las mismas características.

Un oscilador armónico simple obedece la ecuación diferencial [matemática] \ ddot {x} = – \ omega ^ 2 x [/ matemática]. Las funciones trigonométricas [matemáticas] \ sin (\ omega t), \ cos (\ omega t) [/ matemáticas] forman un conjunto completo de soluciones a esta ecuación, como puede comprobar fácilmente; al diferenciarlos dos veces obtienen un signo menos, y sale un factor de [math] \ omega ^ 2 [/ math]. Por lo tanto, una solución completa es
[matemáticas] x (t) = A \ sin (\ omega t) + B \ cos (\ omega t), [/ matemáticas]
donde [matemáticas] A, B [/ matemáticas] están determinadas por las condiciones iniciales.

Esto no está relacionado con el hecho de que estas funciones también son funciones trigonométricas, al menos no directamente. Es el resultado de las propiedades de la serie Taylor que los definen. Si lo desea, simplemente puede definir [matemáticas] \ sen t, \ cos t [/ matemáticas] para que sean soluciones a la ecuación diferencial [matemáticas] \ ddot {x} = – x [/ matemáticas] con condiciones iniciales particulares.

También tenga en cuenta que los exponenciales [matemáticas] e ^ {i \ omega t}, e ^ {- i \ omega t} [/ matemáticas] forman otro conjunto completo de soluciones a la ecuación del oscilador armónico simple. Esto, por supuesto, está relacionado con la fórmula de Euler [matemáticas] e ^ {it} = \ cos t + i \ sin t [/ matemáticas].

También debe mencionarse que el oscilador armónico se eligió como el oscilador “predeterminado” porque está bien aproximado por sistemas oscilantes simples como pesos en resortes y péndulos.

Sin embargo, los osciladores armónicos son realmente raros en la naturaleza, particularmente en biología, pero más generalmente en cualquier sistema complejo. Mucho más común son los osciladores no lineales (a diferencia del oscilador armónico, que es * lineal *), que tienen otras propiedades que explican su ubicuidad. En particular, no solo su período sino también su amplitud tiende a tener un valor característico, y como consecuencia pueden comenzar a oscilar desde un “punto muerto” (dado un pequeño empujón desde un estado no oscilante), mientras que los osciladores armónicos siempre muestran puro comportamiento periódico o comportamiento amortiguado.

Básicamente, porque son matemáticamente simples.

Sabiendo todo lo que necesita saber sobre las funciones seno y coseno, puede modelar funciones periódicas de cualquier complejidad (en teoría, hasta un primer grado de aproximación) y desarrollar su conocimiento a partir de ahí.

El movimiento armónico simple se describe mediante la ecuación diferencial de segundo orden [matemática] x ” = – \ omega ^ 2x. [/ Matemática] Si deja que [matemática] y = x ‘/ \ omega [/ matemática] entonces en el punto [matemática] (x, y) [/ matemática] viaja uniformemente el círculo de radio [matemática] \ omega. [/ matemática] Es más fácil describir el movimiento uniforme alrededor de un círculo en términos de senos y cosenos.

Cuando el punto viaja alrededor del círculo unitario con una velocidad unitaria constante que comienza en [matemática] (1,0), [/ matemática], puede identificar el tiempo [matemática] t [/ matemática] con el ángulo [matemática] \ theta. [/ math] Entonces la coordenada [math] x [/ math] es [math] \ cos \ theta [/ math] y su coordenada [math] y [/ math] es [math] \ sin \ theta [/ math] por la definición geométrica estándar de cosenos y senos.