Los números imaginarios siempre me confundieron. Al igual que la comprensión de e, la mayoría de las explicaciones caen en una de dos categorías:
- Es una abstracción matemática, y las ecuaciones funcionan. Tratar con él.
- Se usa en física avanzada, confía en nosotros. Solo espera hasta la universidad.
¡Vaya, qué gran manera de alentar las matemáticas en los niños! Hoy abordaremos este tema con nuestras herramientas favoritas:
- Centrándose en las relaciones , no en las fórmulas mecánicas.
- Al ver los números complejos como una actualización de nuestro sistema de números , al igual que cero, decimales y negativos fueron.
- Usar diagramas visuales , no solo texto, para comprender la idea.
Y nuestra arma secreta: aprender por analogía. Nos acercaremos a los números imaginarios observando a su antepasado, los negativos. Aquí está tu guía:
- En un núcleo, sea p el número de protones, yn el número de neutrones. ¿Cuál es el estado más estable en el que p = n?
- ¿Qué tiene de malo esta ecuación de movimiento para un sistema de masa variable?
- ¿Para qué son útiles los números de física?
- ¿Podría convertirme en un físico teórico si me gustan las matemáticas y la física pero odio las pruebas?
- ¿Cuál es el significado de la ecuación de Einstein, [matemáticas] E = mc ^ {2} [/ matemáticas]?
Todavía no tiene sentido, pero aguanta. Al final buscaremos i y lo pondremos en una llave de cabeza, en lugar de lo contrario.
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Contenidos [ocultar]
- Comprender realmente los números negativos
- Ingrese números imaginarios
- Comprensión visual de números negativos y complejos
- Encontrar patrones
- Comprender los números complejos
- Un ejemplo real: rotaciones
- Los números complejos no son
- Epílogo: ¡Pero siguen siendo extraños!
- Otras publicaciones en esta serie
Comprender realmente los números negativos
Los números negativos no son fáciles. Imagina que eres un matemático europeo en la década de 1700. Tienes 3 y 4, y sabes que puedes escribir 4 – 3 = 1. Simple.
¿Pero qué hay de 3-4? ¿Qué significa eso exactamente? ¿Cómo puedes tomar 4 vacas de 3? ¿Cómo podrías tener menos que nada?
Los negativos se consideraron absurdos , algo que “oscureció todas las doctrinas de las ecuaciones” (Francis Maseres, 1759). Sin embargo, hoy sería absurdo pensar que los negativos no son lógicos o útiles. Intenta preguntarle a tu maestro si los negativos corrompen los fundamentos de las matemáticas.
¿Que pasó? Inventamos un número teórico que tenía propiedades útiles . Los aspectos negativos no son algo que podamos tocar o sostener, pero describen bien ciertas relaciones (como la deuda). Fue una ficción útil .
En lugar de decir “Te debo 30” y leer palabras para ver si estoy arriba o abajo, puedo escribir “-30” y sé que significa que estoy en el hoyo. Si gano dinero y pago mis deudas (-30 + 100 = 70), puedo registrar la transacción fácilmente. Tengo +70 después, lo que significa que estoy en claro.
Los signos positivos y negativos registran automáticamente la dirección : no necesita una oración para describir el impacto de cada transacción. Las matemáticas se volvieron más fáciles, más elegantes. No importaba si los negativos eran “tangibles”: tenían propiedades útiles, y los usamos hasta que se convirtieron en elementos cotidianos. Hoy llamarías a alguien nombres obscenos si no “obtuvieran” negativos.
Pero no seamos presumidos de la lucha: los números negativos fueron un gran cambio mental. Incluso Euler, el genio que descubrió e y mucho más, no entendió lo negativo como lo hacemos hoy. Se consideraron resultados “sin sentido” (más tarde lo compensó con estilo).
Es un testimonio de nuestro potencial mental que se espera que los niños de hoy entiendan ideas que alguna vez confundieron a los matemáticos antiguos.
Ingrese números imaginarios
Los números imaginarios tienen una historia similar. Podemos resolver ecuaciones como esta todo el día:
Las respuestas son 3 y -3. Pero supongamos que algún sabio pone un pequeño signo menos:
UH oh. Esta pregunta hace que la mayoría de las personas se avergüencen la primera vez que la ven. ¿Quieres la raíz cuadrada de un número menor que cero? ¡Eso es absurdo! (Históricamente, había preguntas reales para responder, pero me gusta imaginar un sabio).
Parece una locura, al igual que los negativos, cero e irracionales (números no repetidos) deben haber parecido locos al principio. No hay un significado “real” para esta pregunta, ¿verdad?
Incorrecto. Los llamados “números imaginarios” son tan normales como cualquier otro número (o simplemente falsos): son una herramienta para describir el mundo. En el mismo espíritu de suponer -1, .3 y 0 “existen”, supongamos que existe algún número i donde:
Es decir, multiplicas i por sí mismo para obtener -1. ¿Que pasa ahora?
Bueno, primero nos da dolor de cabeza. Pero jugar el juego “Vamos a pretender que existo” en realidad hace que las matemáticas sean más fáciles y elegantes. Surgen nuevas relaciones que podemos describir con facilidad.
Puede que no creas en i , al igual que esos viejos matemáticos no creían en -1. Los nuevos conceptos que tuercen el cerebro son difíciles y no tienen sentido de inmediato, incluso para Euler. Pero como nos mostraron los negativos, los conceptos extraños aún pueden ser útiles.
No me gusta el término “número imaginario”: se consideraba un insulto, un insulto, diseñado para herir los sentimientos. El número i es tan normal como otros números, pero el nombre “imaginario” se pegó, así que lo usaremos.
Comprensión visual de números negativos y complejos
Como vimos la última vez, la ecuación x ^ 2 = 9 realmente significa:
o
¿Qué transformación x, cuando se aplica dos veces, convierte 1 a 9?
Las dos respuestas son “x = 3” y “x = -3”: es decir, puede “escalar por” 3 o “escalar por 3 y voltear” (voltear o tomar el opuesto es una interpretación de multiplicar por un negativo) .
Ahora pensemos en x ^ 2 = -1, que es realmente
¿Qué transformación x, cuando se aplica dos veces, convierte 1 en -1? Hrm.
- No podemos multiplicar por un positivo dos veces, porque el resultado sigue siendo positivo
- No podemos multiplicar por un negativo dos veces, porque el resultado volverá a ser positivo en la segunda multiplicación
Pero ¿qué pasa con … una rotación ! Parece una locura, pero si imaginamos que x es una “rotación de 90 grados”, ¡aplicar x dos veces será una rotación de 180 grados, o un cambio de 1 a -1!
Yowza! Y si lo pensamos más, podríamos girar dos veces en la otra dirección (en sentido horario) para convertir 1 en -1. Esta es una rotación “negativa” o una multiplicación por -i:
Si multiplicamos por -i dos veces, la primera multiplicación convertiría 1 en -i, y la segunda convierte -i en -1. Entonces hay realmente dos raíces cuadradas de -1: i y -i .
Esto está muy bien. Tenemos algún tipo de respuesta, pero ¿qué significa?
- i es una “nueva dimensión imaginaria” para medir un número
- i (o -i ) es lo que los números “se convierten” cuando se giran
- Multiplicar i es una rotación de 90 grados en sentido antihorario
- Multiplicar por -i es una rotación de 90 grados en sentido horario
- Dos rotaciones en cualquier dirección es -1: nos devuelve a las dimensiones “regulares” de los números positivos y negativos.
Los números son bidimensionales. Sí, es alucinante, al igual que los decimales o la división larga serían alucinantes para un antiguo romano. ( ¿Qué quieres decir con que hay un número entre 1 y 2? ). Es una forma nueva y extraña de pensar en las matemáticas.
Preguntamos “¿Cómo convertimos 1 en -1 en dos pasos?” Y encontramos una respuesta: gírela 90 grados. Es una forma nueva y extraña de pensar en las matemáticas. Pero es útil. (Por cierto, esta interpretación geométrica de números complejos no llegó hasta décadas después de que me descubrieron).
Además, tenga en cuenta que tener un sentido positivo en sentido antihorario es una convención humana: fácilmente podría haber sido al revés.
Encontrar patrones
Vamos a sumergirnos un poco en los detalles. Al multiplicar números negativos (como -1), obtienes un patrón:
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
Dado que -1 no cambia el tamaño de un número, solo el signo, se voltea hacia adelante y hacia atrás. Para algún número “x”, obtendría:
- x, -x, x, -x, x, -x …
Esta idea es útil. El número “x” puede representar una semana de cabello buena o mala. Supongamos que las semanas se alternan entre buenas y malas; esta es una buena semana; ¿Cómo será en 47 semanas?
Entonces -x significa una mala semana de cabello. Observe cómo los números negativos “hacen un seguimiento del signo”: podemos tirar (-1) ^ 47 en una calculadora sin tener que contar (“La semana 1 es buena, la semana 2 es mala … la semana 3 es buena … “). Las cosas que cambian de un lado a otro se pueden modelar bien con números negativos .
Okay. ¿Qué sucede si seguimos multiplicando por i ?
Muy divertido. Reduzcamos esto un poco:
- (No hay preguntas aquí)
- (No puedo hacer mucho)
- (De eso se trata)
- (Ah, 3 rotaciones en sentido antihorario = 1 rotación en sentido horario. Neat.)
- (4 rotaciones nos traen “círculo completo”)
- (Aquí vamos de nuevo…)
Representado visualmente:
Realizamos ciclos cada 4ta rotación. Esto tiene sentido, ¿verdad? Cualquier niño puede decirle que 4 giros a la izquierda son lo mismo que ningún giro. Ahora, en lugar de centrarse en números imaginarios (i, i ^ 2), observe el patrón general:
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y …
Al igual que el cambio de modelos de números negativos, los números imaginarios pueden modelar cualquier cosa que rote entre dos dimensiones “X” e “Y”. O cualquier cosa con una relación cíclica y circular : ¿tiene algo en mente?
Porque sería un pecado si no lo hicieras. Hay
de Moivre
estar más en futuros artículos. [Nota del editor: Kalid está en terapia de electrochoque para tratar su adicción a los juegos de palabras.]
Comprender los números complejos
Hay otro detalle que cubrir: ¿puede un número ser tanto “real” como “imaginario”?
Usted apuesta. ¿Quién dice que tenemos que rotar los 90 grados completos? Si mantenemos 1 pie en la dimensión “real” y otro en la imaginaria, se verá así:
Estamos en un ángulo de 45 grados, con partes iguales en lo real y lo imaginario (1 + i). Es como un hot dog con mostaza y ketchup, ¿quién dice que debes elegir?
De hecho, podemos elegir cualquier combinación de números reales e imaginarios y hacer un triángulo. El ángulo se convierte en el “ángulo de rotación”. Un número complejo es el nombre elegante para números con partes reales e imaginarias. Están escritos a + bi, donde
- a es la parte real
- b es la parte imaginaria
No está mal. Pero hay una última pregunta: ¿qué tan “grande” es un número complejo? No podemos medir la parte real o las partes imaginarias de forma aislada, porque eso perdería el panorama general.
Retrocedamos El tamaño de un número negativo no es si puedes contarlo, es la distancia desde cero. En el caso de los negativos esto es:
Que es otra forma de encontrar el valor absoluto. Pero para números complejos, ¿cómo medimos dos componentes en ángulos de 90 grados?
Es un pájaro … es un avión … ¡es Pitágoras!
Dios, su teorema aparece en todas partes, incluso en números inventados 2000 años después de su tiempo. Sí, estamos haciendo una especie de triángulo, y la hipotenusa es la distancia desde cero:
Ordenado. Si bien medir el tamaño no es tan fácil como “soltar el signo negativo”, los números complejos tienen sus usos. Vamos a ver.
Un ejemplo real: rotaciones
No vamos a esperar hasta la física universitaria para usar números imaginarios. Probémoslos hoy . Hay mucho más que decir sobre la multiplicación compleja, pero tenga esto en cuenta:
- Multiplicar por un número complejo gira por su ángulo
Vamos a ver. Supongamos que estoy en un bote, con un rumbo de 3 unidades al este por cada 4 unidades al norte. Quiero cambiar mi rumbo 45 grados en sentido antihorario. ¿Cuál es el nuevo rumbo?
Algún hotshot dirá “¡ Eso es simple! Simplemente tome el seno, el coseno, engullirlo por la tangente … fluye desde el foobar … y … “. Grieta Lo siento, ¿rompí tu calculadora? ¿Te importaría responder esa pregunta nuevamente?
Probemos un enfoque más simple: estamos en un rumbo de 3 + 4i (cualquiera que sea ese ángulo; realmente no nos importa), y queremos rotar 45 grados. Bueno, 45 grados es 1 + i (diagonal perfecta), ¡así que podemos multiplicar por esa cantidad!
Aquí está la idea:
- Encabezado original: 3 unidades Este, 4 unidades Norte = 3 + 4i
- Rotar en sentido antihorario 45 grados = multiplicar por 1 + i
Si los multiplicamos juntos obtenemos:
Entonces, nuestra nueva orientación es 1 unidad Oeste (-1 Este) y 7 unidades Norte, que puede extraer y seguir.
Pero yowza! Lo descubrimos en 10 segundos, sin tocar el seno o el coseno. No había vectores, matrices o un seguimiento de en qué cuadrante nos encontramos. Era solo aritmética con un toque de álgebra para multiplicar en forma cruzada. Los números imaginarios tienen las reglas de rotación integradas: simplemente funciona.
Aún mejor, el resultado es útil . Tenemos un encabezado (-1, 7) en lugar de un ángulo (atan (7 / -1) = 98.13, teniendo en cuenta que estamos en el cuadrante 2). ¿Cómo, exactamente, planeabas dibujar y seguir ese ángulo? ¿Con el transportador que te queda?
No, lo convertiría en coseno y seno (-.14 y .99), encontraría una relación razonable entre ellos (aproximadamente 1 a 7) y dibujaría el triángulo. Los números complejos lo superan, al instante, con precisión y sin una calculadora.
Si eres como yo, encontrarás este uso alucinante . Y si no lo haces, bueno, me temo que las matemáticas no tocan tu bocina. Lo siento.
La trigonometría es excelente, pero los números complejos pueden simplificar los cálculos feos (como calcular el coseno (a + b)). Esto es solo una vista previa; artículos posteriores le darán la comida completa.
Aparte: Algunas personas piensan: “¡Oye, no es útil tener encabezados Norte / Este en lugar de un ángulo de ángulo a seguir!”
De Verdad? Ok, mira tu mano derecha. ¿Cuál es el ángulo desde la parte inferior del meñique hasta la parte superior del dedo índice? Buena suerte resolviendo eso por tu cuenta.
Con un encabezado, al menos puede decir “Oh, mide X pulgadas de ancho y Y pulgadas arriba” y tiene alguna posibilidad de trabajar con ese rodamiento.
Los números complejos no son
Ese fue un recorrido torbellino de mis ideas básicas. Eche un vistazo a la primera tabla: debería tener sentido ahora.
Hay mucho más en estos hermosos números estrafalarios, pero mi cerebro está cansado. Mis objetivos eran simples:
- Convencerlo de que los números complejos se consideraron “locos” pero pueden ser útiles (al igual que los números negativos)
- Muestre cómo los números complejos pueden facilitar ciertos problemas, como las rotaciones
Si parezco acalorado y molesto por este tema, hay una razón. Los números imaginarios han sido una abeja en mi capó durante años ; la falta de una visión intuitiva me frustraba.
Ahora que finalmente he tenido ideas, estoy a punto de compartirlas. Pero me frustra que estés leyendo esto en el blog de un loco de ojos salvajes, y no en un salón de clases. Asfixiamos nuestras preguntas y “nos abrimos paso”, porque no buscamos ni compartimos ideas limpias e intuitivas. Egad
Pero es mejor encender una vela que maldecir la oscuridad: aquí están mis pensamientos, y uno de ustedes hará brillar un foco de atención. Pensar que hemos “descubierto” un tema como los números es lo que nos mantiene en tierra de números romanos.
Hay números mucho más complejos: revisa los detalles de la aritmética compleja. Feliz matemática
Epílogo: ¡Pero siguen siendo extraños!
Lo sé, todavía son extraños para mí también. Intento ponerme en la mente de la primera persona en descubrir cero.
Zero es una idea tan extraña, tener “algo” representa “nada”, y eludió a los romanos. Los números complejos son similares: es una nueva forma de pensar. Pero tanto los números cero como los complejos hacen que las matemáticas sean mucho más fáciles. Si nunca adoptamos nuevos sistemas de números extraños, todavía estaríamos contando con nuestros dedos.
Repito esta analogía porque es muy fácil comenzar a pensar que los números complejos no son “normales”. Mantengamos nuestra mente abierta: en el futuro se reirán de que los números complejos alguna vez fueron desconfiados, incluso hasta la década de 2000.
Si desea más detalles, consulte wikipedia, la discusión sobre Dr. Math u otro argumento sobre por qué existen números imaginarios.
Fuente :-
https://betterexplained.com/arti…
