¿Qué es la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y sus axiomas? ¿Cómo se puede explicar de una manera simple?

¿Por qué es importante la teoría de conjuntos ZF?

La respuesta de Joseph Lurie a la pregunta es una excelente explicación del problema que la teoría de conjuntos de ZF se propuso resolver. En esencia, la teoría de conjuntos ingenua permite la construcción de objetos abstractos cuyas propiedades son inconsistentes . Es decir, declaraciones como [math] A \ land \ neg A [/ math] pueden construirse fácilmente a partir de las reglas básicas de la teoría. Esto no servirá como la base de un sistema lógico riguroso que espera ser útil o interesante. Por lo tanto, la teoría de conjuntos ZF y otros sistemas axiomáticos que imponen restricciones sobre lo que puede construir dentro de ese sistema.

Los axiomas de ZF son las reglas (más allá de algunas reglas de inferencia muy básicas) que dicen lo que puedes construir y lo que puedes hacer con las cosas que puedes construir.

El artículo de Wikipedia sobre la teoría de conjuntos de Zermelo – Fraenkel tiene una sección sobre los axiomas: sus declaraciones en el lenguaje simbólico de la teoría de conjuntos y sus traducciones al “inglés simple”.

La teoría de conjuntos ZF es la teoría fundamental de las matemáticas más comúnmente aceptada, donde el edificio se sostiene por una forma de traducir cada concepto en alguna declaración sobre conjuntos a los que se puede llegar desde los axiomas.

Si alguna vez se encuentra una forma de usar ZF para construir una paradoja (en el espíritu de la Paradoja de Russel), entonces ZF se considerará inconsistente y tendrá que descartarse. Entonces comenzará una búsqueda frenética de otra base axiomática que evite construcciones similares. A partir de ese momento, habría que hacer mucho trabajo para verificar que los teoremas existentes y sus pruebas no se basen en lo que entonces estaría “prohibido” y, en los casos en que exista tal confianza, intentar “salvar” el teorema por algunos otros pasos que dependen de los nuevos axiomas.

Ver la teoría de conjuntos de Zermelo – Fraenkel – Wikipedia

Desafortunadamente, no se puede explicar de una manera simple; ni ninguna de las formulaciones alternativas libres de paradojas de la teoría de conjuntos. El artículo de Wikipedia al menos debería darle una idea de su importancia y por qué no es simple.

No, gracias por A2A: intente la búsqueda obvia antes de hacer una pregunta como esta en Quora. Buscar en Google la “teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel” te habría llevado directamente al artículo de Wikipedia citado anteriormente.