Cómo determinar si existe un conjunto

Es posible crear una lista de todos los conjuntos finitarios sin etiquetar (conjuntos cuyo cierre transitivo es finito) [1]. La creación de esta lista y la verificación de la membresía es un método constructivo de “fuerza bruta” para demostrar que existe un conjunto finitario determinado. Las primeras treinta entradas, indexadas por sus números Matula-Goebel [2], son las siguientes.

1 {} 26 {{}, {{}, {{}}}} 62 {{}, {{{{{}}}}}}
2 {{}} 29 {{{}, {{{}}}}} 65 {{{{}}}, {{}, {{}}}}
3 {{{}}} 30 {{}, {{}}, {{{}}}} 66 {{}, {{}}, {{{{}}}}}
5 {{{{}}}} 31 {{{{{{}}}}}} 78 {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
6 {{}, {{}}} 33 {{{}}, {{{{}}}}} 79 {{{}, {{{{}}}}}}
10 {{}, {{{}}}} 39 {{{}}, {{}, {{}}}} 82 {{}, {{{}, {{}}}}}
11 {{{{{}}}}} 41 {{{{}, {{}}}}} 87 {{{}}, {{}, {{{}}}}}
13 {{{}, {{}}}} 47 {{{{}}, {{{}}}}} 93 {{{}}, {{{{{}}}}}}
15 {{{}}, {{{}}}} 55 {{{{}}}, {{{{}}}}} 94 {{}, {{{}}, {{{}}}} }
22 {{}, {{{{}}}}} 58 {{}, {{}, {{{}}}}} 101 {{{}, {{}, {{}}}}}

Estos son los únicos conjuntos que pueden escribirse explícitamente enumerando todos sus elementos. Existen incluso si los números cardinales no existen. También se llaman árboles de identidad porque no hay dos de ellos isomorfos como gráficos (los vértices son conjuntos y los bordes son membresías), y cualquier conjunto finitario es isomorfo a uno de ellos exactamente.

Todos los números ordinales finitos pertenecen a la lista, pero sus índices son extremadamente grandes. Solo se conocen los primeros siete [3]:

[matemáticas] \ {1,2,6,78,30966,11234495766,3197149582479668022558, \ ldots \} [/ matemáticas]

Por ejemplo:

1 -> {}
2 -> {{}}
6 -> {{}, {{}}}
78 -> {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
30966 -> {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}}
11234495766 -> {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}, {{}, {{}} , {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}}}

Notas al pie

[1] A004111 – OEIS

[2] En una correspondencia 1-1 entre árboles enraizados y números naturales

[3] A076146 – OEIS

El conjunto de todos los conjuntos es un conjunto nulo. Russell demostró que ningún conjunto puede ajustarse a la definición. La pregunta no es si existe un conjunto sino si algún elemento propuesto pertenece a ese conjunto. Cuando se consideran todos los elementos, el conjunto puede contener cero, uno o múltiples elementos (incluido un conjunto infinito de). Lo más cercano que puede llegar a ser inválido es cuando se considera que el conjunto de elementos pares tres es un elemento inválido.

Un conjunto existe inherentemente si la definición de sus elementos es coherente. Se puede decir que un conjunto de tristeza no existe.

La razón por la que surge una paradoja del ejemplo de barbero de Russel es que las definiciones en el conjunto no eran exhaustivas, en otras palabras, las proposiciones en sí mismas crearon la paradoja, por lo que lo que se intenta básicamente es que creamos un problema a sabiendas para intentarlo para resolverlo, en lugar de resolver la formulación incorrecta desde el principio.