Como expliqué en una respuesta anterior (la respuesta de Qiaochu Yuan a ¿Qué es un espacio topológico?), En términos generales, debe pensar que una topología describe los tipos de propiedades que puede probar sobre un punto en ese espacio. Por ejemplo, en la topología habitual en un espacio métrico, puede probar si dos puntos están (estrictamente) a una cierta distancia uno del otro.
En una topología profinita, solo puede realizar pruebas que involucren una cantidad finita de información. Por ejemplo, el producto de innumerables copias de un conjunto de dos elementos tiene una topología de producto que es profínita: si trabaja exactamente cuáles son los conjuntos abiertos y cerrados en esta topología, codifican el hecho de que las únicas propiedades comprobables de un secuencia infinita de 0s y 1s son aquellos que implican finitamente muchos términos.
Más vívidamente, suponga que le dan una máquina con un botón. Cada vez que presiona el botón, imprime un 0 o un 1. Al presionar el botón repetidamente, la máquina imprime alguna secuencia
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0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, …
pero no puede abrir la máquina para descubrir cómo está produciendo esta secuencia. Entonces, lo único que puede aprender sobre la secuencia es lo que puede aprender después de presionar el botón varias veces: por ejemplo, puede aprender que la secuencia contiene al menos un 1 presionando el botón hasta que vea un 1. Y de hecho el El conjunto de secuencias con esta propiedad es un subconjunto abierto en la topología del producto (ejercicio).
Por otro lado, no puede aprender que la secuencia no contiene ningún 1 porque, por mucho tiempo que presione el botón, la siguiente presión del botón podría demostrar que está equivocado. Y, de hecho, el conjunto de secuencias con esta propiedad no es un subconjunto abierto en la topología del producto (ejercicio).
