El estudio de las curvas elípticas pertenece a varios campos al mismo tiempo: análisis complejo, geometría algebraica y teoría de números (tanto algebraicos como, en cierta medida, analíticos). Gran parte de lo interesante proviene de poder cambiar las perspectivas al respecto.
Las curvas elípticas aterrizan en un punto dulce entre objetos más simples que se han estudiado mucho pero donde hay menos preguntas abiertas y objetos más complicados que no tienen tantas propiedades agradables o cuyo estudio es menos accesible.
En geometría algebraica, se han estudiado mucho tanto las curvas como los espacios algebraicos de dimensiones superiores de diferentes tipos. Las curvas son más simples, y comprender las curvas es a menudo un requisito previo para comprender los espacios de dimensiones superiores. (El tipo específico de espacio algebraico conocido como “variedad algebraica” es uno de los más estudiados).
Las curvas algebraicas tienen una propiedad conocida como “género”. Las curvas de género 0, como las secciones cónicas, se han estudiado durante miles de años, y aunque son interesantes per se, el estudio de ellas está relativamente “explotado”. Hay una buena manera de parametrizar una sección cónica. Tome cualquier punto [matemática] P_0 [/ matemática] en la cónica y parametrice otros puntos [matemática] P [/ matemática] por la pendiente de la línea [matemática] P_0 P [/ matemática]. Por ejemplo, aunque en trigonometría el círculo de radio 1 alrededor del origen está parametrizado por [math] (\ cos (\ theta), \ sin (\ theta)) [/ math], el método que acabo de describir le proporciona otras parametrizaciones como [ matemática] t = y / (x + 1) [/ matemática] (donde elijo [matemática] P_0 = (- 1,0) [/ matemática] como mi punto base), o para resolver [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], tenemos [matemática] (x, y) = ((1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2), 2t / (1 + t ^ 2)) [/matemáticas]. Otra forma de expresar [matemáticas] t [/ matemáticas] es [matemáticas] \ tan (\ theta / 2) [/ matemáticas]. Se nos enseñó que en el cálculo como una sustitución trigonométrica “universal”, ya que convierte las seis funciones trigonométricas estándar en funciones racionales de [matemáticas] t [/ matemáticas]. En cierto sentido, el hecho de que las secciones cónicas se puedan parametrizar de esta manera significa que son más simples de lo que parecen.
Por otro lado, según el teorema de Faltings (teorema de Faltings – Wikipedia) si una curva tiene un género mayor que 1, entonces solo tiene un número finito de puntos cuyas coordenadas son racionales. Esto sigue siendo cierto incluso si reemplazamos “racional” por “pertenece a [matemática] K [/ matemática]” donde [matemática] K [/ matemática] es un campo numérico como los números de la forma [matemática] a + b \ sqrt (2) [/ math] donde [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son números racionales Para los teóricos de los números, esto deja curvas de género mayores que 1 como un tema interesante, pero algo menos. de lo que sería de otra manera.
Las curvas elípticas en la tercera mano caen perfectamente entre estos dos casos. Una curva elíptica tiene el género 1, y puede tener finitamente muchos puntos con coordenadas racionales o infinitamente muchos puntos racionales.
Déjame explicarte ahora cuál es el género. Una curva algebraica tiene múltiples conceptos de dimensión que se aplican a ella. Se llama curva porque, en cierto sentido, es un objeto unidimensional. Pero si usa números complejos [matemática] x + iy [/ matemática], esa dimensión significa que puede ser parametrizada localmente por parte del plano complejo. Si piensa en ello como parametrizado por números reales, dado que se necesitan dos números reales ([matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática]) para parametrizar el plano complejo, los puntos en la curva también son una superficie (bidimensional sobre los números reales). Esa superficie tendrá un cierto número de agujeros, y el número de agujeros se llama género. Por ejemplo, las secciones cónicas si se completan usando geometría proyectiva, forman superficies como la esfera. Los puntos en una curva elíptica con coordenadas complejas (si agregamos un punto proyectivo en el infinito) son geométricamente como la superficie de una rosquilla.
Los puntos tienen una estructura agradable porque hay una ley de “suma” para ellos. Hay una manera de obtener una “suma” para los puntos en una curva (supondré por simplicidad que es una curva plana). Lo que voy a definir es esencialmente el “jacobiano” de la curva, excepto que quiero eludir algunos de los detalles técnicos. Se llama Jacobian por el matemático del siglo XIX Jacobi.
Uno comienza siendo un poco barato: solo considere expresiones de la forma [math] n_1 P_1 + … + n_k P_k [/ math] donde [math] n_1, …, n_k [/ math] son enteros y [math] P_1, … , P_k [/ math] son puntos en la curva. Se pueden agregar expresiones como esas simplemente combinando términos que involucran el mismo punto. (Alternativamente, uno puede pensar en funciones desde los puntos de la curva hasta los enteros, sujeto al requisito de que solo finitamente muchos valores de la función no sean cero. Estas funciones se agregan como funciones de la misma manera).
Ahora involucre la geometría de la curva al considerar los puntos de intersección de la curva con una línea para sumar a cero. Tenemos que tener un poco de cuidado en los casos en que la línea es tangente a la curva, porque entonces el punto de intersección debe tomarse con multiplicidad (como la forma [matemáticas] y = (x-5) ^ 2 [/ matemáticas] se considera que tiene dos raíces en [matemáticas] x = 5 [/ matemáticas] que coinciden).
Para secciones cónicas, esta construcción nos da un resultado poco interesante. Dos puntos distintos en la cónica definen una línea, que intersecta la cónica solo en esos dos puntos. Entonces su suma es cero. (En la forma en que generalmente se define el jacobiano, se muestra más directamente que dos puntos cuentan como iguales). Cuando todos los puntos se tratan como equivalentes, todas las sumas son equivalentes a algún múltiplo del punto base. Este es el punto en el que la construcción deja de ser interesante.
Para las curvas de género mayor que 1, obtenemos un tipo de resultado interesante, pero más complicado que en el género 1.
Una curva del género uno es una curva elíptica. Una curva elíptica puede incrustarse en el plano como una curva cúbica, donde las líneas (ordinariamente) se cruzan en tres puntos. Aquí se necesitan algunos detalles técnicos: muchas líneas intersecan la curva solo en puntos que tienen números complejos como coordenadas. Muchas líneas intersecan la curva en solo dos puntos, porque la línea es tangente a la curva en uno de los puntos. En geometría algebraica, tal intersección a menudo cuenta doble, al igual que la raíz de un polinomio como [matemática] P (x) = (x-5) ^ 2 [/ matemática] en [matemática] x = 5 [/ matemática] es contado como una raíz “doble”. La tangente a una curva elíptica en un punto de inflexión cuenta como una intersección “triple”.
Dados dos puntos [matemática] P [/ matemática], [matemática] Q [/ matemática], el tercer punto [matemática] R ‘[/ matemática] en la línea entre ellos cuenta como (menos) su suma. Se supone que una curva elíptica tiene un punto base [matemática] O [/ matemática], que a los efectos de esta construcción se supone que es uno de los puntos de inflexión. Es habitual entonces considerar la línea desde el punto base hasta el tercer punto y ver dónde se cruza con la curva. Si la línea [matemática] OR ‘[/ matemática] interseca la curva en [matemática] R [/ matemática], entonces, según las reglas que di, tenemos [matemática] P + Q = O + R [/ matemática]. También es habitual tratar el punto base como equivalente a 0, de modo que cualquier suma de puntos en la curva elíptica por estas reglas también sea un punto en la curva. (Para agregar un punto consigo mismo, en lugar de tomar cualquier línea a través del punto y de sí mismo, se toma la línea tangente de la curva en el punto. Si el punto es un punto de inflexión de la curva, se toma la línea tangente en el punto para intersecarlo con la multiplicidad tres allí, de modo que los puntos de inflexión sean los puntos donde [matemática] 3P = O [/ matemática].)
El hecho de que los puntos de la curva elíptica tengan una ley de suma les da una buena estructura. No solo existe una ley de suma (conmutativa y asociativa) para todos los puntos, sino que si la curva tiene coeficientes y el punto base tiene coordenadas en algún campo, los puntos cuyas coordenadas también están en ese campo tienen una ley de suma.
Las variedades algebraicas “adecuadas” que tienen una ley de grupo se conocen como “variedades abelianas”. Ser apropiado es propiedad de las variedades algebraicas, como ser compacto. Los jacobianos de curvas de género> 1 son variedades abelianas de dimensión> 1. Si los matemáticos tuvieran alguna aversión psicológica perversa al estudio de las curvas elípticas, se verían obligados a estudiarlos de todos modos, porque la única forma de entender las variedades abelianas en general es entender las curvas elípticas, que son las variedades abelianas unidimensionales. La única forma de comprender las curvas del género superior es comprender las curvas del género inferior, y comprender a los jacobianos de las curvas del género superior, de todos modos hay que entender las curvas elípticas.
Barry Mazur terminó el proyecto de determinar qué estructuras posibles podrían tener los puntos racionales en una curva elíptica definida con números racionales. Si una curva elíptica definida sobre los números racionales tiene un número finito de puntos racionales, tiene uno a diez o doce. (Mostrar que tener exactamente once era imposible fue una de las últimas cosas que se mostraron).
Cuando hay infinitos puntos con coordenadas racionales en la curva, se sabe que siempre hay algún subconjunto finito (un conjunto de “generadores”) a partir del cual todos se pueden producir aplicando la suma. Para aquellos que conocen alguna teoría de grupo abeliano, el grupo es la suma de un grupo de torsión finito y un subgrupo generado por algunos elementos que no son de torsión. El número de generadores de no torsión requeridos se denomina “rango” de la curva elíptica. No sabemos si hay un límite superior en el rango. La mayoría de la gente piensa que no hay límite superior.
Soy coautor de un artículo con Rajiv Gupta donde estudiamos la familia de curvas elípticas [matemáticas] y ^ 2 = x ^ 3-Ax [/ matemáticas] para números naturales [matemáticas] A [/ matemáticas]. Esta es una ilustración de la forma en que algunas de estas ideas diferentes funcionan juntas. Las curvas en esta familia son, en algunos aspectos, iguales. Como curvas algebraicas complejas son equivalentes, ya que se pueden convertir entre sí mediante una transformación lineal de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y, [/ matemáticas] siempre y cuando nos permitamos utilizar las raíces cuarto de [matemáticas] A [/ matemáticas]. Como superficies con coordenadas reales, mencioné que todas las curvas elípticas se ven iguales (como la superficie de una rosquilla). Como superficies complejas, no todas las curvas elípticas son equivalentes, pero las curvas de esta familia en particular son todas equivalentes. Son equivalentes al módulo del plano complejo, los números de la forma [matemática] m + ni [/ matemática] donde [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] son enteros (un cuadrado en el plano complejo enrollado pegando lados opuestos). Esa superficie tiene una agradable simetría cuádruple que corresponde a la transformación [matemática] (x, y) -> (- x, iy) [/ matemática]. Por otro lado, las diferentes curvas en la familia se relacionan con los números racionales de manera diferente. Como uno varía [matemáticas] A [/ matemáticas], el rango varía.
No pudimos hacer un análisis exhaustivo de la situación; Sospecho que el rango no tiene límites en esta familia (y si hubiéramos demostrado eso, ahora seríamos famosos por haber resuelto la conjetura del rango, lo que no es tan fácil). Pasará mucho tiempo antes de que las curvas elípticas se entiendan tan a fondo como las secciones cónicas ahora.
