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Estas son propiedades de las funciones hamiltoniana y lagrangiana respectivamente. Las funciones hamiltonianas y lagrangianas eran conocidas por Lagrange mucho antes de que Hamilton desarrollara su erm, la función hamiltoniana y Euler al menos parcialmente anticiparon el desarrollo del lagrangiano. Había un montón de tipos tratando de descubrir cómo unificar las leyes dinámicas de Newton después de que se introdujeran como Lagrange, Hamilton, Laplace, Legendre, Gauss, etc.
- Supongamos que tenemos un sistema newtoniano de finitas partículas, cada una de las cuales es indivisible. Decimos que en este sistema, hay un número finito de dimensiones (N) representativas de una disposición espacial única de todas estas partículas; y esto se conoce como el Espacio de configuración ( C).
A medida que el tiempo evoluciona, el punto único (C) que representa todo el sistema de partículas newtonianas se moverá en (C) de acuerdo con una ley dada que encapsula y gobierna el movimiento newtoniano de ese sistema en una sola función.
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- Esto se llama función lagrangiana y se define en el Tangent Bundle T (C) del espacio de configuración (C). Más bien, la función lagrangiana es el haz tangente sobre el conjunto de las dimensiones finitas (N) de un sistema dado de partículas newtonianas definidas como el Espacio de configuración.
La función hamiltoniana se define en el paquete cotangente T * (C) y se denota como el espacio de fase. Para la función lagrangiana, cada punto del espacio de configuración tiene un punto (Q) de (C) y un vector tangente en (Q); mientras que cada uno de los puntos de Hamilton también representa un punto (Q) de (C) pero tiene un vector cotangente en (Q). Ambos se consideran múltiples 2N-dimensionales.
- No necesita un conjunto de coordenadas cartesianas o realmente cualquier otro, estas solo definen velocidades generalizadas con respecto al tiempo de la manera más simple posible. Esencialmente, la función lagrangiana (L) es una función suave del paquete tangente del espacio de configuración (C); y la función hamiltoniana (H) es una función suave en el paquete cotangente del espacio de configuración (C), llamado espacio de fase.
