La pregunta publicada es: ¿Cuál es la raíz cúbica de −27?
El póster no ha incluido en la pregunta cuál es el contexto. Cuando se discuten las funciones de poder que son raíces, como es el caso con muchas otras funciones, la función no está completamente definida o expresada sin una declaración del dominio y codominio de la función. (Sí, al contrario de lo que es popular tener ejercicios para el estudiante de álgebra de secundaria para encontrar el dominio de una función que realmente debe encontrar el dominio máximo en el contexto de números reales , la definición y el uso de una función no está completa [ y a menudo, como aquí, totalmente inadecuado] sin especificar el dominio deseado (a qué valores se aplicará la función), el codominio (a qué valores se le permite producir la función) y la relación de cómo hacer la transición desde elementos del dominio a elementos del codominio. Veremos en breve por qué son importantes.
Tenga en cuenta que una forma de sustantivo singular ( raíz en lugar de raíces ) y la correspondiente forma verbal singular ( es en lugar de son ) se han utilizado en la pregunta publicada. Hay tres números complejos, uno de los cuales es real, cuyo cubo es −27. Si el póster quiere que el dominio y el codominio sean R (números reales), entonces solo hay una opción; si el póster quiere que el dominio y el codominio sean C (números complejos), entonces hay tres posibilidades de las cuales el póster aparentemente desea uno, que luego asumiríamos como la raíz del cubo principal.
Primero, examinemos tener R como dominio y codominio. Si definimos la función:
f : R → R tal que f ( x ) = x ³,
entonces diferentes valores de x se asignan a diferentes valores de f ( x ) [es decir, diferentes valores de x ³], lo que significa que f es inyectiva. Además, para cada número real y hay un número real x tal que x ³ = y , lo que significa que f es sobreyectivo. Como f es tanto inyectiva como sobreyectiva, f es biyectiva e invertible. El mapeo de la función raíz del cubo R → R es el inverso de f (con f a veces denominada función de cubo en R ). Debido a la bijectividad, sabemos que la raíz cúbica es única. Solo hay un valor cuyo cubo es −27 y ese número es −3. Por lo tanto, el único valor que puede ser la raíz cúbica de −27 es −3.
Segundo, examinemos tener C como dominio y codominio. Si definimos la función:
f : C → C tal que f ( x ) = x ³, ya no es cierto que f es inyectiva. Para cualquier y distinto de cero, habrá tres valores de x que se correlacionan con y . Por ejemplo,
f (−2) = f (1 + i√3) = f (1 – i√3) = −8.
Dado que f no es inyectiva, no importa que f sea sobreyectiva, yf no sea biyectiva ni invertible. Sin embargo, los matemáticos han desarrollado un criterio algo arbitrario, pero simple y consistente, para determinar cuál de las tres opciones constituye la raíz cúbica principal de un número complejo, y ese es el valor que se pretende cuando decimos ” la raíz cúbica de” [forma singular ] El proceso es:
* ¿Cuál de las tres opciones tiene la mayor parte real? Si la respuesta produce un valor único [producirá uno o dos valores], entonces ese valor es la raíz cúbica.
* Si la respuesta a la primera pregunta no es única, tomamos cualquiera de los dos valores obtenidos en la primera pregunta que tiene una parte imaginaria positiva.
Para −27, las tres opciones son: −3, 1.5 + 1.5i√3 y 1.5 – 1.5i√3. Hay dos valores que comparten el papel de la mayor parte real: 1.5 + 1.5i√3 y 1.5 – 1.5i√3. El que tiene una parte imaginaria positiva es 1.5 + 1.5i√3, entonces esa es la raíz cúbica principal de −27 en el dominio complejo.
Ahora vemos la importancia de especificar el dominio porque terminamos con dos respuestas diferentes, una para cada uno de los dos dominios:
La raíz cúbica de −27 en el dominio real es −3.
La raíz cúbica de −27 en el dominio complejo es 1.5 + 1.5i√3.
¿Te parece extraño? ¿No es R ⊂ C , entonces el número real −27 no es igual al número complejo −27? ¿Por qué el mismo número no tendría la misma raíz cúbica? Pueden suceder cosas extrañas en el plano complejo que ni siquiera nos damos cuenta (hasta que tengamos un curso de análisis complejo), pero en realidad tienen un impacto incluso cuando se centran en números reales (la convergencia de series de potencia para funciones de valor real se ve afectada por ubicación de singularidades en el plano complejo) de la extensión compleja de la función. La función de raíz cúbica, junto con la función logaritmo ln, en el plano complejo tiene lo que se llama un corte de rama que conecta puntos de rama en 0 e “infinito” y el corte de rama es convencionalmente a lo largo del eje real negativo (no queremos tener un comportamiento divertido a lo largo del eje real positivo y no desea una asimetría entre el semiplano imaginario positivo y el semiplano imaginario negativo). Un comportamiento clave de los cortes de rama es una discontinuidad: el valor de una función con un corte de rama tiene una transición definida en el corte de rama, de modo que el valor solo en un lado del corte de rama y el valor en el otro lado del corte de rama no se acercan entre sí como los dos puntos se acercan entre sí. En cualquier otro lugar, la función puede ser continua. Tomemos, por ejemplo, un círculo de radio 27 centrado en 0 en el plano complejo. En el valor 27, la raíz del cubo principal se considera como 3. Siga el círculo alrededor de −27 en sentido contrario a las agujas del reloj (a través del semiplano imaginario positivo) y la raíz del cubo cambiará de manera suave y continua hasta 1.5 + 1.5i √3 en −27. Si, en cambio, comienza en 27 y sigue el círculo en sentido horario (a través del semiplano imaginario negativo), la raíz cúbica volverá a cambiar continuamente hasta llegar a 1.5 – 1.5i√3 en −27. Los dos límites que se acercan al mismo punto desde lados opuestos del corte de rama difieren en 3i√3, que no es 0. Por lo tanto, el límite de la raíz cúbica de la función x en −27 depende de la ruta tomada hacia −27, por lo que el el límite no existe y la función no puede ser continua allí. Tenga en cuenta que ninguno de los límites es −3, el valor de la raíz cúbica de −27 para el dominio R.
Como resultado, hay algunos matemáticos (en su mayoría alemanes en mi experiencia limitada) que no pueden soportar una falta de coincidencia, por lo que terminan considerando que la raíz cúbica de todos los números negativos no está definida en el contexto del dominio R. La mayoría de los matemáticos no quieren llamar a la raíz cúbica de un número negativo indefinido en el contexto del dominio R porque eso violaría el concepto de una biyección que es invertible y la función inversa se define en el codominio completo de la función original, más la real Los números con suma, resta, multiplicación, división, excepto por 0, y las potencias con exponentes enteros se comportan bien y como se espera cuando se incrustan en C. Muchas cosas se rompen cuando están involucradas potencias con exponentes no enteros. Se aplican restricciones a las leyes de los poderes porque si intenta aplicarlas con exponentes no enteros y bases reales imaginarias o negativas, obtendrá resultados falaces. Muchas preguntas de Quora involucran tales problemas. No se sorprenda de la presencia de estos problemas.
