El video es una introducción intuitiva a la topología. Describe cómo transformar continuamente un espacio topológico en otro.
La topología es el estudio de funciones continuas. Para hacer eso, necesita suficiente estructura en un conjunto (el conjunto que será el espacio topológico) para definir la función continua. Hay varias formas de describir esta estructura, incluyendo (1) una operación de cierre en subconjuntos, (2) una colección de subconjuntos cerrados, o (3) una colección de subconjuntos abiertos. Cualquiera de los tres métodos que use, necesitará ciertas propiedades para mantener.
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Una vez que haya hecho eso, tendrá una definición de un espacio topológico [matemática] X [/ matemática]. Si tiene otro espacio topológico [matemática] Y [/ matemática], utilizando la estructura que tiene, puede definir cuándo una función [matemática] \, f: X \ a Y [/ matemática] es continua. Si una función continua [matemática] \, f [/ matemática] tiene una inversa continua, entonces se dice que los dos espacios topológicos son homeomórficos. Eso significa que son esencialmente el mismo espacio topológico. Las diversas formas de vidrio en el video son todas homeomorfas. Se estiran o aprietan, pero estirar y apretar no afectan la topología.
Ahora sobre agujeros. Solo con los conceptos de topología, es difícil hablar sobre lo que constituye un agujero, pero se puede hacer con la ayuda del álgebra. Topológicamente, una esfera y un toro no son homeomórficos. Intuitivamente, un toro tiene un agujero que no tiene una esfera. El toro de tres agujeros en el video intuitivamente tiene tres agujeros, dos más que el toro ordinario y tres más que la esfera.
Topología algebraica
La topología algebraica puede contar estos agujeros. Es demasiado explicar aquí al respecto, pero al menos un concepto de topología algebraica puede serlo. Un ciclo en un espacio topológico [matemática] X [/ matemática] es la imagen de un círculo. Intuitivamente, es una curva que dibujas en [matemática] X [/ matemática] que comienza y termina en el mismo lugar.
Aquí hay una imagen del artículo Homología (matemáticas) – Wikipedia que muestra tres ciclos en una esfera. Hay infinitamente muchos otros de ellos.
En una esfera, todos los ciclos se pueden contraer a un punto. Tome [math] a [/ math], por ejemplo, que se parece al ecuador. Puede elevarlo continuamente hasta [matemática] b [/ matemática], y luego seguir elevándolo hasta el polo norte, un punto.
Aquí hay otra imagen del mismo artículo de tres ciclos en un toro.
El ciclo [matemática] c [/ matemática] puede contraerse a un punto, pero los otros dos no pueden serlo. Ni [matemática] a [/ matemática] ni [matemática] b [/ matemática] pueden contraerse en un punto debido a “agujeros” en el toro. Además, no puede mover continuamente [matemáticas] a [/ matemáticas] a [matemáticas] b [/ matemáticas], por lo que los “agujeros” son agujeros diferentes.
La topología algebraica estudia estas cosas por medio del álgebra. La primera homología del toro con coeficientes en [math] \ mathbf Q [/ math] es un espacio vectorial bidimensional sobre [math] \ mathbf Q [/ math] cuya base consiste en los dos ciclos [math] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] en la figura. La primera homología de la esfera, sin embargo, es un espacio vectorial de dimensión [matemática] 0 [/ matemática] porque cada ciclo es contraíble en una esfera.
