Pregunta fascinante Entonces, dependiendo de cuán ‘real’ quieras decir con real, voy a darte algo que definitivamente sé:
1) Modelos algebraicos de computación: los grupos y los semi-grupos son los fundamentos algebraicos de la teoría de los autómatas. Toda la teoría de autómatas puede explicarse como morfismos (morfismo) entre monoides (monoide, de Wolfram MathWorld). La secuencia de operaciones permitidas sobre una entrada a un autómata finito sobre algún lenguaje finito es asociativa. Esto forma un semi-grupo (Semigroup). Los semi-grupos (estudiados bajo la teoría de grupos) y sus propiedades algebraicas son la columna vertebral de la teoría de autómatas. La teoría de autómatas se utiliza en verificación formal, algoritmos de coincidencia de cadenas, etc.
2) Simetría: hay un teorema en Álgebra (específicamente, Teoría de grupos), llamado Teorema de Cayley . Aquí está lo que dice:
i) Cada grupo [matemática] G = [/ matemática] [matemática] [/ matemática] es isomorfo a un grupo de permutaciones [matemática] \ prod [/ matemática] [matemática] = \ {\ pi_ { i}, .., \ pi_ {n} \} [/ math]
– [math] \ prod [/ math] es el grupo de permutación del subconjunto [math] A = \ {1,2, .. n \} [/ math] de los números naturales sobre la operación de composición de funciones, que contiene bijecciones ‘n’ FIJAS (demasiado detalladas para los fines de esta respuesta para aclarar cómo se construyen para un Grupo dado). Una permutación no es más que una función biyectiva. Básicamente, piense en este grupo como un subgrupo de lo que llamamos el Grupo Simétrico de ‘n’ ([matemática] S_ {n} [/ matemática]) . El grupo simétrico consta de TODAS las biyecciones posibles sobre n elementos. Puede convencerse usando un argumento de conteo simple de que la cardinalidad del Grupo Simétrico es mayor que UN grupo de permutaciones. Estas biyecciones representan simetrías .
– La teoría de grupos, por lo tanto, encuentra gran utilidad en el estudio de la simetría y, por lo tanto, en el estudio de la geometría de las moléculas y sus propiedades TODAS sobre la química .
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3) Códigos de corrección de errores: a partir del modelo simple de decodificación de máxima verosimilitud, que utiliza la operación de adición binaria sobre cadenas binarias con bits de paridad para formar un grupo de Hamming y utiliza la matriz de Hamming para decidir la integridad de las cadenas y la decodificación de errores esto, a técnicas mucho más avanzadas que utilizan polinomios sobre campos reales, grupos y campos, proporcionan una gran columna vertebral de la teoría de codificación. Esto encuentra uso adicional en criptografía, cuando se combina con ciertas técnicas de teoría de números.
Estas son las 3 aplicaciones -> Modelos computacionales + Química + Teoría de la codificación / Criptografía , que sé de la parte superior de mi cabeza. También estoy seguro de que hay otros.
¡Espero que esto ayude!
