¿Cuáles son las aplicaciones del ‘producto de punto’ en física, excepto ‘trabajo’?

Me gusta la respuesta de Bjarke, pero déjame tomar un poco de tangente.

Una razón más abstracta de que el producto de punto aparece todo el tiempo es la simetría . En física pensamos que las leyes fundamentales de la naturaleza son invariables bajo rotaciones. Es decir, si veo la misma situación desde diferentes ángulos, debería ver que sucede lo mismo.

Entonces, para describir el universo, debemos usar cantidades que son invariables bajo rotaciones. ¿Qué pasa si queremos hablar de vectores? Bueno, los vectores en sí mismos no son invariables bajo rotaciones: si cambio mi vista alrededor de 180 grados, todos los vectores en el problema también cambian. Pero los ángulos entre todos los vectores no cambian, no importa cómo los gire (siempre que mueva todo junto).

Esto significa que el producto escalar es invariante . Eso lo hace perfecto para escribir leyes físicas. Es por eso que lo ve en las ecuaciones de Maxwell, el teorema de energía de trabajo, el acoplamiento dipolo / campo eléctrico, las ecuaciones de Navier-Stokes, etc.

De hecho, en cierto sentido, el producto escalar es el único invariante escalar. Lo que eso significa es que si tengo alguna función [matemática] f (\ vec {x} _1, \ vec {x} _2, \ dots) [/ matemática] que toma vectores como argumentos y devuelve un número (no un vector) , y si [math] f [/ math] es rotacionalmente invariante , entonces [math] f [/ math] puede escribirse en función de solo los productos de punto de todos los vectores.
[matemáticas] f = f (\ vec {x} _1 \ cdot \ vec {x} _1, \ vec {x} _2 \ cdot \ vec {x} _2, \ vec {x} _1 \ cdot \ vec {x} _2, \ puntos) [/ matemáticas]

Usamos productos dot todo el tiempo . Intuitivamente, el producto punto es una medida de cuánto dos vectores apuntan en la misma dirección, por lo que, por ejemplo, al hacer cálculos con láser y óptica cuántica simplificada, aproximaremos un átomo en un campo eléctrico por un dipolo eléctrico en el campo, que tiene una energía como [math] – \ mathbf {d} \ cdot \ mathbf {E} [/ math]

Puede ver otro ejemplo simple en mi respuesta al efecto Doppler sobre el sonido: ¿cambia con la cantidad de separación entre el objeto en movimiento / productor de sonido y el observador?

De manera más abstracta, en mecánica cuántica, utilizamos productos de puntos para calcular amplitudes de probabilidad a partir de estados cuánticos.

Esto es faaaar de una lista exhaustiva, pero espero que te dé alguna idea.

Escribir ecuaciones y fórmulas más cortas.

Por ejemplo, las ecuaciones maxwell-heaviside: ecuaciones de Faraday y Ampère. O otro ejemplo: calcular el área de superficies curvas u otras integrales con la fórmula de Green o el teorema de Stokes.

De hecho, lo usas todo el tiempo.

Un producto de puntos proporciona un producto no vectorial para la multiplicación de dos vectores. Además del trabajo, que es el producto escalar de la fuerza y ​​la distancia (direccional), es posible que desee utilizar un producto de puntos para encontrar la ecuación de un plano.

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