Me gusta la respuesta de Bjarke, pero déjame tomar un poco de tangente.
Una razón más abstracta de que el producto de punto aparece todo el tiempo es la simetría . En física pensamos que las leyes fundamentales de la naturaleza son invariables bajo rotaciones. Es decir, si veo la misma situación desde diferentes ángulos, debería ver que sucede lo mismo.
Entonces, para describir el universo, debemos usar cantidades que son invariables bajo rotaciones. ¿Qué pasa si queremos hablar de vectores? Bueno, los vectores en sí mismos no son invariables bajo rotaciones: si cambio mi vista alrededor de 180 grados, todos los vectores en el problema también cambian. Pero los ángulos entre todos los vectores no cambian, no importa cómo los gire (siempre que mueva todo junto).
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Esto significa que el producto escalar es invariante . Eso lo hace perfecto para escribir leyes físicas. Es por eso que lo ve en las ecuaciones de Maxwell, el teorema de energía de trabajo, el acoplamiento dipolo / campo eléctrico, las ecuaciones de Navier-Stokes, etc.
De hecho, en cierto sentido, el producto escalar es el único invariante escalar. Lo que eso significa es que si tengo alguna función [matemática] f (\ vec {x} _1, \ vec {x} _2, \ dots) [/ matemática] que toma vectores como argumentos y devuelve un número (no un vector) , y si [math] f [/ math] es rotacionalmente invariante , entonces [math] f [/ math] puede escribirse en función de solo los productos de punto de todos los vectores.
[matemáticas] f = f (\ vec {x} _1 \ cdot \ vec {x} _1, \ vec {x} _2 \ cdot \ vec {x} _2, \ vec {x} _1 \ cdot \ vec {x} _2, \ puntos) [/ matemáticas]