La motivación para la transformación de Fourier proviene del estudio de la serie de Fourier. En el estudio de la serie de Fourier, las funciones complicadas pero periódicas se escriben como la suma de ondas simples representadas matemáticamente por senos y cosenos. La transformada de Fourier es una extensión de la serie de Fourier que se produce cuando el período de la función representada se alarga y se le permite acercarse al infinito.
Mientras estudiaba el flujo de calor, Joseph Fourier descubrió que una función periódica no sinusoidal puede expandirse como una suma infinita de función sinusoidal.
- ¿Cuáles son algunos términos matemáticos inusuales?
- ¿Qué método matemático se usa en una herramienta de ajuste de curvas en MATLAB?
- ¿Debo usar una calculadora para el cálculo, o hacerlo en mi mente?
- ¿Cuál es el significado de la lógica de segundo orden?
- ¿Cómo domino las matemáticas JEE?
Cualquier función periódica se puede escribir como una serie de Fourier. Cualquier función puede descomponerse en componentes de frecuencia. Este es un cambio de variable del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia llamado transformación de Fourier, y no es lo mismo que una serie de Fourier porque no requiere periodicidad.
GiF a continuación se muestra para visualizar lo que hace la transformación de Fourier
En los primeros cuadros de la animación, una función f se resuelve en series de Fourier: una combinación lineal de senos y cosenos (en azul). Las frecuencias componentes de estos senos y cosenos distribuidos a través del espectro de frecuencia, se representan como picos en el dominio de la frecuencia (en realidad funciones delta de Dirac, que se muestran en los últimos cuadros de la animación). La representación del dominio de frecuencia de la función,
Aplicación de la vida real:
1. La transformada de Fourier es una transformada lineal reversible con muchas propiedades importantes. Para cualquier función f (x) (que en astronomía generalmente tiene un valor real, pero f (x) puede ser compleja), la transformada de Fourier se puede denotar F (s), donde el producto de xys no tiene dimensión. A menudo, x es una medida del tiempo t (es decir, la señal del dominio del tiempo) y, por lo tanto, s corresponde al tiempo inverso o frecuencia (es decir, la señal del dominio de la frecuencia).
El exponencial complejo es el corazón de la transformación. Un exponencial complejo es simplemente un número complejo donde las partes real e imaginaria son sinusoides.
La relación exacta se llama fórmula de Euler que conduce a la identidad famosa (y hermosa) e ^ (i pi) + 1 = 0 que relaciona cinco de los números más importantes en matemáticas.
Los exponenciales complejos son mucho más fáciles de manipular que las funciones trigonométricas, y proporcionan una notación compacta para tratar con sinusoides de fase arbitraria, que forman la base de la transformada de Fourier.
2. Todo nuestro mundo digital utiliza estos algoritmos simples pero realmente potentes, que transforman las señales de su dominio de tiempo en su dominio de frecuencia y viceversa. De hecho, estás viendo esta publicación gracias a estos algoritmos.
Internet, su WiFi, teléfono inteligente, teléfono, computadora, enrutador, satélites, casi todo lo que tiene una computadora adentro usa estos algoritmos de una forma u otra para funcionar. No puedes obtener un título en electrónica, informática o telecomunicaciones sin estudiar estos algoritmos importantes.
3. Al utilizar la espectroscopía infrarroja por transformada de Fourier (FTIR), los investigadores pueden aumentar en gran medida la cantidad de información que se puede extraer de un microarray de proteínas. En un nuevo informe, muestran cómo se pueden obtener espectros de alta calidad a partir de manchas de proteína no mayores que el diámetro de un ser humano
IOS Press
4. Una transformación de Fourier se trata de convertir cualquier patrón simple o complejo en las ondas de base simples de las que está compuesto.
Un teléfono convierte las frecuencias de voz en señales eléctricas y las señales eléctricas nuevamente en frecuencias de voz. Una cámara de televisión convierte las imágenes visuales y las frecuencias de sonido en señales eléctricas y las transmite a un televisor donde las señales eléctricas se convierten nuevamente en imágenes y sonidos visuales. En otras palabras, estos tipos de tecnología implican convertir un tipo de señal en otro tipo de señal que transporta la misma información pero en una forma diferente.
Una transformada de Fourier usa el mismo principio. Un tipo de señal se convierte en otro tipo que contiene la misma información en forma diferente y luego se puede volver a convertir al tipo original. No se puede enfatizar lo suficiente que la mayoría de nuestro mundo tecnológico familiar implica convertir la información en una forma equivalente pero más conveniente y luego volver a convertirla nuevamente.
Para más consulta:
Transformada de Fourier – Wikipedia
