¿Cómo puede haber diferentes tipos de infinitos?

Gracias por el A2A …

¿Por qué hay diferentes niveles de infinito?

No puedo responder por qué, eso no es lo que hace Mathematics. Sin embargo, puedo describir algunos de los niveles, que hago en Una breve taxonomía de números.

En esto discuto la cardinalidad de cada uno de:

• Números naturales
• Números primos
• Enteros
• Numeros racionales
• Números reales y
• Números complejos

Claramente, no todos los conjuntos infinitos son exactamente iguales a todos los demás conjuntos infinitos: el conjunto {0, 1, 2, …} es diferente de {1, 2, 3, …}. Dado que algunos conjuntos infinitos no son iguales, puede clasificar los conjuntos infinitos de muchas maneras diferentes. La idea general de una clasificación es una “relación de equivalencia” en la que se toma una colección y se corta en piezas disjuntas y exhaustivas. Esto es lo que hace un isomorfismo en el universo de conjuntos: no voy a entrar en lo que es un isomorfismo porque es posible que ya lo hayas visto y, si no, hay muchos recursos disponibles. Pero este isomorfismo agrupa los números naturales con los racionales, pero los reales no están agrupados con ellos.

En general, se puede demostrar que el conjunto de potencia de un conjunto es siempre “más grande” que el conjunto de varias maneras (por inclusión y por inyección estricta). Si compras eso y compras la existencia de un conjunto infinito, entonces obtienes una cadena infinita de conjuntos infinitos crecientes:

[matemática] X <\ matemática {P} (X) <\ matemática {P} (\ matemática {P} (X)) <… [/ matemática]

El infinito es algo gracioso. Ningún matemático lo contará jamás, y ningún científico lo observará, pero ambos han domesticado el concepto para su uso en propósitos específicos. Los matemáticos dividen líneas, planos y variedades n-dimensionales de maneras infinitas y comparan conjuntos infinitos de diferentes tamaños. Los científicos usan cálculos y ecuaciones diferenciales, que flirtean con infinitos, con confianza y precisión.

En estas disciplinas, puede tener sentido hablar de diferentes tipos de infinitos, pero en el sentido ordinario, el infinito es simplemente una categoría para lo que está más allá de toda medida.

Fácil: puede tener un límite infinito (el tipo de infinito que invoca cuando quiere hablar sobre tomar el límite como una variable se vuelve arbitrariamente lejos de cero, o el valor de una función como su variable (s) tiende a un punto límite , al menos a lo largo de una ruta determinada), y utiliza el símbolo [math] \ infty [/ math]; puede tener un número cardinal transfinito , que describe (en cierto sentido) el tamaño de un conjunto (y estos infinitos son del mismo tipo, pero vienen en diferentes “tamaños” en una jerarquía indexada por el siguiente tipo …) y usan símbolos como [math] \ aleph_k [/ math] o [math] \ beth_k [/ math]; puede tener números transfinitos ordinales , que describen el orden de las cosas (primero, segundo, tercero, etc. a [matemática] \ omega [/ matemática], [matemática] \ omega + 1 [/ matemática], [matemática] \ puntos [ / matemática], [matemática] 2 \ omega [/ matemática], [matemática] \ puntos [/ matemática], [matemática] \ omega ^ 2 [/ matemática], [matemática] \ puntos [/ matemática]), que son generalmente representado por [math] \ omega [/ math] en varias formas.

Puede tener otros tipos de números transfinitos si los define (para que sean consistentes) para algún propósito, pero estos son tres de los tipos de infinitos más comunes que podría encontrar.

Dependerá de lo que esté definiendo como infinito. Diferentes conjuntos de números producirían diferentes tipos de infinitos. Te aconsejo que eches un vistazo a Vsauce, él lo explica muy bien.

Las siguientes preguntas infinitas relacionadas nunca se han respondido de manera clara y científica desde que los conceptos de “infinito, infinito potencial, infinito real” entraron en la ciencia humana:

¿Por qué los conceptos de “potencial infinito, infinito real” nunca se han podido definir clara y científicamente? ¿Son importantes en el actual sistema de ciencias relacionadas infinitas? En caso afirmativo, qué papeles juegan; si no, ¿por qué han existido en nuestra ciencia desde entonces? ¿Cómo podemos conocer la relación entre “cosas matemáticas relacionadas infinitas” y “potencial infinito, infinito real”?

Tales defectos fundamentales han producido directamente los conceptos paradójicos de “más infinito, menos infinito, super infinito, gran infinito, pequeño infinito, más grande infinito, más pequeño infinito, …”.

El siguiente hecho es un ejemplo típico de confuso “potencial infinito-infinito real”:

En la matemática actual, es “científico y razonable” utilizar la conocida “operación de computación de soporte” de Oresme para crear elementos infinitos cada uno mayor que 1/2 o 1 o 100 o 1000000000000000 o 1000000000000000000000000000000 o … de la Serie Armónica para cambiar la ONU -> 0 Infinite Harmonic Series en una serie infinita “Vn ＞ cualquier constante positiva” (como la constante positiva de 1000000000000000000000000000000):

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +… + 1 / n +… ＞ 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 +… -> ∞

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +… + 1 / n +… ＞ 1 + 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +… -> ∞

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +… + 1 / n +… ＞ 100 + 100 + 100 + 100 + 100 +… -> ∞

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +… + 1 / n +… ＞ 1000000000000000 + 1000000000000000 +1000000000000000 + 1000000000000000 +… -> ∞

…

Como una versión moderna probada matemáticamente más estricta de la paradoja de Zenón, la paradoja de la serie armónica recientemente descubierta es la forma más sencilla de explicar la paradoja de la raza Aquiles-Tortuga de Zenón.

Las cantidades infinitas pueden tener otras propiedades que ser “de alguna manera sin límite”. El ejemplo clásico es si uno tiene una correspondencia con el conjunto de números naturales – ” infinitamente contable ” – o no. Hay más números reales entre 0 y 1 que todos los números de conteo, si trató de enumerarlos. Por lo tanto, se dice que la cardinalidad de [math] \ mathbb {R} [/ math] es “incontable” y no finita . Además, otros infinitos construibles pueden no tener una correspondencia con el conjunto de números reales.

Una respuesta intuitiva es que no es correcto ver el infinito como un número, nunca. No es como un valor, es el concepto de que no importa qué número elijas, puedo elegir un número más grande. O, no importa cuántos diga que tiene, puedo señalar más.

Obviamente, esto no es matemáticamente riguroso, pero esta visión debería ayudarlo a pensar en el infinito de manera más efectiva.

Sin recurrir al simbolismo matemático, explicaré mi comprensión intuitiva de “diferentes tipos de infinitos”. En primer lugar, todos los tipos están más allá de contar, sin embargo, los diferentes tipos todavía pertenecen a “conjuntos”, que tienen diferentes dimensiones. El conjunto infinito de puntos, o “elementos” en una línea, no pertenecerá al conjunto infinito de puntos en una superficie. Las superficies también varían ya que hay “superficies cerradas, como en una esfera, y superficies abiertas, como en una” superficie plana “. A continuación, pasamos a tres, cuatro … matemáticamente, entrando en la teoría de cuerdas, hay diez dimensiones. Cada una de las diversas dimensiones tiene su propio “tipo diferente” de infinito, con respecto al número de elementos.

En pocas palabras: los niveles de infinito, en su mayor parte, dependen de las dimensiones que contienen elementos infinitos respectivos dentro.

Ver este. Tiene todas tus respuestas. Canal de Youtube Vsause, contando videos del infinito pasado.

Entiendo que hay diferentes tipos de infinito: uno puede (incluso intuitivamente) entender que el infinito de los reales es diferente del infinito de los números naturales. O que el infinito de los números pares es el mismo que el de los números naturales. ¿Cuántos tipos de infinito hay? ¿O es esto infinito en sí mismo?