¿Por qué la mayoría de las constantes ampliamente utilizadas en matemáticas (constante de Graham, pi, e, etc.) son relativamente bajas? Seguramente con un número infinito de opciones posibles, ¿es más probable que cualquier constante particular sea incomprensible e imprácticamente alta?

Necesariamente, el “interés” (definido como, digamos, la cantidad de veces que aparece un número en las publicaciones) de los números generalmente disminuye a medida que se hacen más grandes; incluso se podría decir que disminuye más rápido que 1 / n, ya que la suma de todos los aspectos interesantes debe ser finita.

Dicho esto, tienes razón en que en matemáticas las constantes son generalmente muy pequeñas. Sin embargo, no es muy sorprendente, ya que para las preguntas fundamentales la respuesta es generalmente del mismo orden de magnitud que las variables de entrada: la relación entre el diámetro y la circunferencia de un círculo nunca iba a ser 10 ^ 83. Probablemente también hay un sesgo humano en juego, donde preferimos cortar las constantes fundamentales y escribirlas en piezas más pequeñas. El ejemplo más conocido es, por supuesto, tau = 2pi, que podría decirse que es una constante más fundamental que pi y es mayor que 5.
Los físicos usan constantes mucho más grandes y más pequeñas, debido al uso de diferentes cantidades y unidades y, a menudo, cruzan diferentes órdenes de magnitud.

Creo que esto tiene más que ver con las matemáticas construidas o descubiertas por los humanos . Nuestras nociones de “relativamente bajo” y “estéticamente atractivo” y “comprensible” son generadas por restricciones cognitivas inherentes a nuestro cerebro.

Nuestra memoria a corto plazo solo es capaz de tener ~ 7 cosas en mente a la vez. Esto limita la complejidad de cualquier descripción que consideremos “natural”. Los casos de descripciones muy complejas de fenómenos matemáticos o físicos parecen difíciles de entender, por lo que los agrupamos en componentes más pequeños, incluidos números más pequeños.

Otra limitación es que nuestra intuición geométrica se construye combinando proyecciones en 2-d en nuestras retinas en representaciones en 3-d. Esto significa que pensamos muy naturalmente en dos dimensiones, tres dimensiones es un poco difícil, cuatro dimensiones se pueden entender a través de metáforas y proyecciones en 3 dimensiones. Razonar sobre objetos de cinco dimensiones es prácticamente incomprensible fuera del razonamiento formal algebraico-lingüístico. Ahora piense en la definición de [math] \ pi [/ math]: es la relación del diámetro de la 1-esfera (un círculo, cuya superficie es 1-dimensional) a su “longitud” (el volumen unidimensional de su superficie). Jugando con los valores de esta fórmula en Wolfram Alpha, el valor de esta relación se maximiza para N = 7, por lo que si tuviéramos 8 dimensiones, el número [matemáticas] \ pi ^ 4/3 \ aproximadamente 32.46 [/ matemáticas] podría parece tan “natural” como [math] \ pi [/ math] nos parece.

Finalmente, no todas las constantes son realmente pequeñas. Por ejemplo, 196884 es significativo en las formas modulares de la teoría, y los principales descubrimientos matemáticos fueron el resultado de que alguien notó que [matemáticas] 196884 = 196883 + 1 [/ matemáticas].

Relevante xkcd:

“Si encuentras un número más alto que este, no estás haciendo matemática real”. [1]

No es literalmente cierto, por supuesto, ¡pero lo suficientemente cierto como para hacer una broma!

Notas al pie

[1] xkcd: línea numérica

Quizás la constante de Chaitin es lo suficientemente alta:

En el subcampo de la informática de la teoría de la información algorítmica, una constante de Chaitin (número Omega de Chaitin) o probabilidad de detención es un número real que representa informalmente la probabilidad de que un programa construido aleatoriamente se detenga.

Cada probabilidad de detención es un número real normal y trascendental que no es computable, lo que significa que no existe un algoritmo para calcular sus dígitos. De hecho, cada probabilidad de detención es aleatoria de Martin-Löf, lo que significa que ni siquiera hay un algoritmo que pueda adivinar sus dígitos de manera confiable.

Principalmente porque las constantes más “interesantes” tienen una interpretación física. Las matemáticas pueden inventar constantes arbitrariamente grandes, pero la física no. La gran mayoría de las matemáticas está motivada por la aplicación para resolver un problema del “mundo real”.
No hay suficientes volúmenes de Planck en el universo observable para incluso almacenar el número de dígitos en el número de Grahams, y mucho menos el valor de g (64).
Entonces, todas las constantes interesantes tienden a ser “a escala humana”.

Bien. Piénsalo.

• La identidad aditiva es 0
• La identidad multiplicativa es 1
• El área de un círculo de radio 1 está entre 0 y la de un cuadrado de lados de longitud 2, que es 4.

Esto significa que pi está entre 0 y 4.

• La serie de e = (1 + 1/2 + 1/6 + …) está limitada por 2 = (1 + 1/2 + 1/4 + …) y 3 = (1 + 1 + 1/2 + 1 / 4 + …)

Esto significa que e está entre 2 y 3.

Puede continuar así para cada número que considere bajo.

El número de Skewes es una constante: [matemáticas] e ^ {e ^ {e ^ 79}}}} [/ matemáticas]. Su cálculo escapa a la potencia informática actual.

g (64) aparece en la teoría de Ramsey, tendrías una pelota con esa constante.