Primero, déjenme mencionar: Sí, están íntimamente relacionados con los conceptos algebraicos.
Terminación: El ejemplo prototípico de terminación en geometría algebraica es el anillo polinómico (figura). Me reproduzco de nlab (http://ncatlab.org/nlab/show/com…),
Para R cualquier anillo y R [x] el anillo polinomial con coeficientes en R, entonces la finalización formal de R [x] en el ideal (x) generado por el generador libre x es el anillo de la serie de potencia formal R [[x]] .
Si R es un campo, entonces Geométricamente Spec (R [x]) es la línea afín en geometría algebraica / geometría aritmética sobre R, mientras que Spf (R [[x]]) es el disco formal dentro de la línea afín alrededor del origen.
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Si ha visto la versión algebraica, piense en esto: $ \ hat {R} _I $ es
En palabras, esta construcción límite dice que los elementos de R_I son secuencias de elementos en R que “agregan sucesivamente elementos cada vez más pequeños, como lo ve el ideal I”.
Esto debería recordarle una secuencia de Cauchy de espacios métricos completos.
Localización: esta es la herramienta para la geometría algebraica. Hay una cantidad arbitrariamente grande escrita en Internet sobre la localización, así que déjenme decir la versión que me gusta y les dejo a Google más cosas:
Serre dice que todo lo que realmente necesitas para hacer geometría son las poleas. Cuando pensamos en gavillas que definen un espacio algebraico, obtenemos gavillas casi coherentes. Cuando hacemos la localización algebraica que usted menciona, en los módulos (localice el anillo y extienda los escalares), obtenemos las gavillas casi coherentes en los parches más pequeños. Esto significa que si desea pensar en un espacio como las gavillas que lo definen, la localización proporciona los “gráficos” y la reconstrucción.
Escribí más sobre esto aquí: ¿Cuáles son algunas ideas matemáticas increíblemente brillantes que no tienen aplicaciones reales en la actualidad?
