¿Cuántos enteros menores que 200 tienen un número par de factores?

La respuesta es bastante simple en realidad …

Comprende que los factores de un número ocurren en pares …

Por ejemplo, considere el número 12,

Sus factores son 1,12; 2,6; 3,4

Lo mismo es cierto para cualquier número natural, EXCEPTO los cuadrados perfectos … Las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos se emparejan entre sí. Entonces los factores de 16 serían 1,16; 2,8; 4,4 …

Tenga en cuenta que un factor se repite en el ejemplo anterior … es así para todos los cuadrados perfectos.

Entonces, podemos concluir que los cuadrados perfectos tienen un número impar de factores, mientras que todos los demás números naturales tienen un número par de factores.

Volviendo a su pregunta, simplemente reste el número de (cuadrados perfectos menos de 200) de 200 y obtendrá la respuesta …

¡Espero eso ayude!

Desde el teorema de factorización prima, cualquier número natural n puede expresarse como el producto de primos, por lo tanto

[matemáticas] n = [/ matemáticas] [matemáticas] p_ {1} ^ {α}. p_ {2} ^ {β} .p_ {3} ^ {γ} [/ math] …

donde [matemática] p_1, p_2, p_3 [/ matemática] … cada uno de los primos se eleva a sus poderes correspondientes α, β, γ … y así sucesivamente.

El número total de factores positivos para dicho número n es igual al producto (α + 1) (β + 1) (γ + 1) ……; Esto se deduce fácilmente ya que cada factor distinto de n tendría una factorización prima de forma similar, con cada primo elevado a cualquier potencia que oscile entre cero y máximo (es decir, que se mantenga en n). Entonces, para el primer [math] p_1 [/ math], podemos tener el poder como cualquiera entre 0,1,2, … es decir, tenemos opciones (α + 1) para [math] p_1 [/ math]. De manera similar, tenemos opciones (β + 1) para [math] p_2 [/ math] y así sucesivamente, para finalmente producir un número de factores distintos iguales al producto anterior.

En cuanto al problema en cuestión, la cantidad de factores puede ser impar solo si este producto es impar. Esto a su vez implica que cada uno de los términos (α + 1), (β + 1) … es esencialmente impar, por lo tanto, cada una de las potencias α, β, etc. es esencialmente par. Esto lleva a la conclusión de que todos esos números son en realidad cuadrados perfectos.

Por lo tanto, el problema se reduce a encontrar el número de cuadrados perfectos menores que 200. Entonces, entre estos 199 enteros positivos, el número requerido de tales enteros sería 199- [√199], es decir, 199-14 = 185.

La paz sea con todos nosotros.

Para cualquier entero positivo [matemático] n [/ matemático] y cualquier divisor positivo [matemático] d [/ matemático], tenemos un [matemático] “[/ matemático] complementario [matemático]” [/ matemático] divisor [matemático] \ frac {n} {d} [/ math], que también es un entero positivo. Esto nos permite emparejar divisores positivos de [matemáticas] n [/ matemáticas], lo que demuestra que el número de divisores positivos de [matemáticas] n [/ matemáticas] [matemáticas] ([/ matemáticas] denotado por [matemáticas] d (n )) [/ math] es par a menos que [math] d = \ frac {n} {d} [/ math] para algún divisor [math] d [/ math]. Esto ocurre solo cuando [math] n = d ^ 2 [/ math], entonces [math] d = \ sqrt {n} [/ math] y [math] n [/ math] es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, [math] d (n) [/ math] es impar si y solo si [math] n [/ math] es un cuadrado perfecto.

Para contar el número de enteros menor o igual que un entero positivo específico [matemático] N [/ matemático] con un número par de divisores (positivos), debemos contar todos los enteros, excepto los que son cuadrados perfectos. Este número es [math] N- \ lfloor \ sqrt {N} \ rfloor [/ math] en general, y [math] 200- \ lfloor \ sqrt {200} \ rfloor = 200–14 = 186 [/ math] cuando [matemáticas] N = 200 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Nota: estoy asumiendo enteros positivos para esta pregunta.

Los factores de un entero positivo vienen en pares.

Considere los factores de [matemáticas] 96 [/ matemáticas] por ejemplo:

[matemáticas] 1 \ por 96 \ quad 2 \ por 48 \ quad 3 \ por 32 \ quad 4 \ por 24 \ quad 6 \ por 16 \ quad 8 \ por 12 [/ matemática].

Esto nos da [matemática] 12 [/ matemática] factores en [matemática] 6 [/ matemática] pares donde el producto de los pares es [matemática] 96 [/ matemática].

Esto se puede hacer para todos los números excepto aquellos que son cuadrados perfectos. En este caso, obtienes dos factores iguales (la raíz cuadrada) en el par final. Estos factores iguales solo cuentan como uno. Por ejemplo, los factores de [matemáticas] 36 [/ matemáticas]:

[matemáticas] 1 \ veces 36 \ quad 2 \ veces 18 \ quad 3 \ veces 12 \ quad 4 \ veces 9 \ quad 6 \ veces 6 [/ matemáticas].

Esto nos da factores [matemáticos] 9 [/ matemáticos] en pares [matemáticos] 5 [/ matemáticos] pero el último par solo tiene un factor distinto.

Por lo tanto, todos los números no cuadrados tienen un número par de factores y todos los números cuadrados tienen un número impar de factores.

¿Cuántos enteros positivos menores que [matemáticas] 200 [/ matemáticas] son ​​cuadrados? La respuesta es [matemáticas] 14 [/ matemáticas].

Por lo tanto, hay [matemáticas] 185 [/ matemáticas] enteros positivos menores que [matemáticas] 200 [/ matemáticas] que tienen un número par de factores.

el número de números primos menores que 200 es 46

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

así que primero eliminamos todos los números primos con factor único

200–46 = 154

entonces pensamos en

4 * primo = 15 números

9 * primo = 8 números

25 * primo = 2 números

49 * primo = 1 número

entonces 154–15–8–2–1 = 128

16 * primo = 5

81 * primo = 1 número posible, por lo que 128–6 = 122

así tenemos que eliminar todos los factores impares

pero no sé la respuesta correcta y no tengo tiempo para resolver esto

los números tienen números pares de factores excepto

todos los números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196