Absolutamente no los entiendo bien, así que confíe más en mis referencias que en mí, pero seré voluntario de álgebras de operadores de vértices (VOA). Estos objetos complicados pero hermosos aparecen en muchas áreas diversas, incluyendo la teoría de cuerdas y la monstruosa luz de la luna. Un VOA es un espacio vectorial graduado equipado con bastantes operaciones, que son casi imposibles de entender al leer la definición simple. Como resultado de Yi-Zhi Huang, los VOA pueden considerarse como “álgebras sobre un Operad”, lo que significa que todas sus operaciones algebraicas se pueden reunir para hacer una ópera, otra estructura muy interesante por derecho propio (ver Jeremy La respuesta de Hahn para un ejemplo clásico de álgebra sobre una operada).
En este caso, el operad viene dado por interacciones de cadena, como en la teoría de cadenas. Es decir, suponga que tiene cadenas entrantes [math] n [/ math], y pregúntese cómo pueden colisionar e interactuar para producir una sola cadena saliente. Cada forma en que esto puede suceder le proporciona una operación [matemática] n [/ matemática] en el VOA. Por ejemplo, una colisión entre dos cadenas que produce una sola salida le dará algún tipo de producto en el VOA, ya que un producto es una forma de combinar dos elementos de un álgebra. Sin embargo, hay muchas maneras de que ocurra esta colisión, por lo que obtienes muchos productos diferentes.
La mejor manera de pensar sobre las interacciones de cadenas es considerar las hojas del mundo que rastrean. Así como las partículas trazan líneas, llamadas “líneas mundiales”, a medida que el movimiento a través del tiempo, las cadenas trazan tubos, las llamadas “hojas del mundo”. A continuación, a la izquierda, puede ver dos partículas que se unen para formar una sola partícula, y lo mismo para las cadenas a la derecha (el tiempo fluye desde la parte superior del diagrama hacia la parte inferior).
Pero no consideramos simplemente el “par de pantalones” a la derecha como un espacio topológico. La característica clave de la teoría de cuerdas es su invariancia conforme. Esto significa, en particular, que la hoja del mundo de la cadena debe tener una estructura compleja y tratarse como una superficie de Riemann con límite. Esta estructura adicional en realidad no es suficiente, y además tenemos que hacer un seguimiento de los estados salientes y entrantes de la cadena. Como espacio topológico, solo hay una operación correspondiente al par de pantalones, ya que todos los pares de pantalones son homeomórficos. Sin embargo, con la estructura adicional dada por la teoría de cuerdas, hay muchas operaciones diferentes que provienen de diferentes estructuras complejas en el par de pantalones. Esta es la razón por la cual un VOA tiene tantas operaciones diferentes, ya que están muy vinculadas al estudio de las superficies de Riemann, una de las áreas más bellas de las matemáticas.
Algunas referencias:
Wikipedia (vinculada anteriormente): álgebra de operadores de vértices
nLab: álgebra de operadores de vértices en nLab
Una publicación útil de mathoverflow (ver en particular la respuesta de David Ben-Zvi): ¿Cuál es la motivación para un álgebra de vértices?
Una referencia de libro de texto para la descripción de VOA como álgebras sobre un operad: Geometría de conformación bidimensional y álgebras de operadores de vértices
