Cuatro personas K, L, M y N están inicialmente en las cuatro esquinas de un cuadrado del lado ‘d’. Cada persona ahora se mueve con una velocidad uniforme de ‘v’ de tal manera que K siempre se mueve directamente hacia L, L directamente hacia M, M directamente hacia N y N directamente hacia K. ¿A qué hora se encontrarán las cuatro personas?

Esta es una excelente pregunta!

Intuitivamente, puede parecer que las cuatro personas nunca se encontrarán, porque la persona hacia la que se mueven siempre se aleja de ellas. La clave es que mientras la persona hacia la que se mueven se mueve, en realidad no se alejan de la persona que los persigue. De hecho, la persona que se aleja siempre se moverá perpendicular a la línea entre ellos y la persona que los persigue, por lo que nunca se alejarán más de su perseguidor. Por otro lado, la persona que los persigue siempre se mueve hacia ellos a la velocidad v. Por lo tanto, la distancia entre estas dos personas disminuye a la velocidad v, y el tiempo que les toma encontrarse [matemáticas] \ frac {d} { v}. [/ matemáticas].

Para los más inclinados matemáticamente, esto puede no parecer una gran prueba, así que aquí hay una manera de mostrar esto con un poco de cálculo:

Primero, echemos un vistazo a lo que sucedería si todas las personas se movieran en su dirección inicial (establecidas solo por las posiciones iniciales de K, L, M, N) durante un tiempo [matemáticas] t = \ Delta t [/ matemáticas ]

No es difícil demostrar que la forma roja también debe ser un cuadrado. Esto no es sorprendente, pero es importante para nuestro cálculo. Tomemos el cuadrado en un tiempo arbitrario t, con longitudes laterales [math] x (t) [/ math]. Observe que tenemos un triángulo rectángulo con longitudes laterales [matemática] x (t) -v \ Delta t [/ matemática], [matemática] v \ Delta t [/ matemática] y [matemática] x (t + \ Delta t) [/matemáticas]. Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos la ecuación:
[matemáticas] x (t + \ Delta t) ^ 2 = (x (t) -v \ Delta t) ^ 2 + (v \ Delta t) ^ 2 [/ matemáticas]
Expandiendo las ecuaciones al cuadrado obtenemos:
[matemáticas] x (t + \ Delta t) ^ 2 = x (t) ^ 2-2x (t) v \ Delta t + 2 (v \ Delta t) ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora, deje que [math] \ alpha (t) = x (t) ^ 2 [/ math]:
[matemáticas] \ alpha (t + \ Delta t) = \ alpha (t) -2 \ sqrt {\ alpha (t)} v \ Delta t + 2 (v \ Delta t) ^ 2 [/ matemáticas]
Más álgebra, mueve [matemática] \ alpha (t) [/ matemática], divide entre [matemática] \ Delta t [/ matemática]
[matemáticas] \ frac {\ alpha (t + \ Delta t) – \ alpha (t)} {\ Delta t} = -2 \ sqrt {\ alpha (t)} v + 2v ^ 2 \ Delta t [/ matemáticas]
Ahora observe si dejamos que [math] \ Delta t [/ math] vaya a 0 (que representa movimiento continuo), el lado izquierdo es solo una derivada:
[matemáticas] \ frac {d \ alpha (t)} {dt} = -2 \ sqrt {\ alpha (t)} v [/ matemáticas]
Ahora, esta es solo una ecuación diferencial que es fácil de resolver con separación de variables:
[matemáticas] \ frac {d \ alpha} {\ sqrt {\ alpha (t)}} = -2v dt [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que nuestra integral sobre [matemática] \ alpha (t) [/ matemática] irá de [matemática] d ^ 2 [/ matemática] a [matemática] x (t) ^ 2 [/ matemática].
[matemáticas] \ int_ {d ^ 2} ^ {x (t) ^ 2} \ frac {d \ alpha (t)} {\ sqrt {\ alpha (t)}} = \ int_ {0} ^ {t} -2v dt [/ matemáticas]
[matemáticas] \ big (2 \ sqrt {\ alpha (t)} \ big) _ {d ^ 2} ^ {x (t) ^ 2} = -2vt [/ math]
[matemáticas] | x | – | d | = -vt [/ matemáticas]
Ahora podemos resolver t cuando [math] x = 0 [/ math] (se supone que d es positivo, por lo que eliminamos el valor absoluto):
[matemáticas] t = \ frac {d} {v} [/ matemáticas]

¡Qué es lo que obtuvimos con el primer método!

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Esta pregunta puede responderse en términos bastante elementales, básicamente no hay necesidad de ninguna matemática avanzada.
Dado que por simetría en cada momento cada persona está en la esquina de un cuadrado, y se encuentran en el centro del cuadrado, simplemente puede descomponer el vector de velocidad de cualquiera de ellos (señalando a lo largo del costado de un cuadrado) en dos componentes (uno de ellos es la proyección en la diagonal del cuadrado, y el otro es su complemento ortogonal).

Entonces cada una de las personas debe cubrir la mitad de la longitud de la diagonal del cuadrado, es decir, [matemática] \ frac {d} {\ sqrt {2}} [/ matemática] por velocidad [matemática] \ frac {v} {\ sqrt {2 }}[/matemáticas]. El tiempo transcurrido es obviamente [matemático] \ frac {\ frac {d} {\ sqrt {2}}} {\ frac {v} {\ sqrt {2}}} = \ frac {d} {v}. [/matemáticas]

Hablando en términos generales, puede ignorar la parte del vector de velocidad que es responsable de la rotación de la imagen, teniendo en cuenta solo la proyección del vector de velocidad en la diagonal del cuadrado.

Deepesh Garg

¿No debería converger el camino de los cuatro a medida que se mueven uno hacia el otro?
si la longitud del cuadrado negro es ‘l’, entonces la longitud del cuadrado azul será ‘l – delta’.
El movimiento de personas será más en forma de arco que de líneas rectas.

Deepesh Garg

Bien respondido por Kyle Lund, pero para una respuesta TL / DR:

Digamos que eres K. Eres el centro de tu universo. En cualquier momento, N se mueve hacia ti con una velocidad “v”. Esto se traduce en la velocidad relativa de N para que usted sea “v”, ya que N siempre se mueve hacia usted y el vector direccional relativo se conserva (ya que la velocidad de N es perpendicular a la suya). Por lo tanto, usted y N se encuentran en el momento T + d / v. Después de haber acechado con éxito L, y así sucesivamente, todos se encuentran al mismo tiempo.

Esta pregunta fue fácil debido a la uniformidad de la velocidad: como muestra Kyle Lund en su método de cálculo, sigue obteniendo ese cuadrado, manteniendo la perpendicularidad de la velocidad. Si las velocidades fueran diferentes, la velocidad relativa resultante tendría que ser factorizada.

Toshe Prasad

Se encontrarán en el centro de la plaza … como el
vector de dirección de todas las personas cambian de acuerdo a
la otra persona (ya que el ángulo es 90)

El camino independiente de cada persona tomada será espiral en
naturaleza.

Gram Zeppi

¿ALGUIEN CONTRA ESTA SOLUCIÓN?

Considere un pequeño intervalo de tiempo ∆t al comienzo del viaje. En este intervalo de tiempo, todos viajan una distancia v∆t en la dirección de la persona a la que se enfrentan. (Ver figura) A través de este proceso, todas las personas viajan a lo largo de los cuatro cuadrantes diferentes de los círculos con un extremo en su posición inicial y otro en el centro del cuadrado O. El radio de cada arco es d / 2 y la longitud del arco es 1/4 (2π (d / 2)> = πd / 4. Por lo tanto, el tiempo que tarda cada persona en moverse con velocidad v a alcanzar O a lo largo del arco del cuadrante es t = πd / (4v) >> Respuesta diferente de todas las otras respuestas disponibles por ahí.

Abhijeet Jain

Hace muchos, muchos años, Martin Gardner informó, en Scientific American, que había cuatro errores en la esquina de algún cuadrado y estaban involucrados, antes de que pisáramos, en una actividad similar a la solución de K, L, M y N. Gardner, si no recuerdo mal fue algo como esto:

En cualquier momento dado, los cuatro errores están en las esquinas de un cuadrado que se hace más pequeño a medida que los errores se acercan. Considere, por ejemplo, el error 1 que sigue al error 2. Por lo tanto, la ruta del error 1 siempre estará en ángulo recto con la ruta del error 2. Por lo tanto, no hay ningún componente en el movimiento del error 2 que lo lleve hacia o desde error 1. En consecuencia, el error 1 capturará el error 2 en el mismo tiempo que tomaría si el error 2 hubiera permanecido estacionario. El tiempo requerido entonces es d / v.

Abhijeet Jain