En matemáticas, ¿es PEMDAS una regla o es simplemente un método sugerido para evitar respuestas múltiples o indefinidas?

Yo haría tres puntos.

1. Es un método sugerido de simplificación, y un estándar que todos usan. La elección de no usar ese estándar cambia los resultados de cálculos idénticos (1 + 1 * 2), pero no de una manera que sea inconsistente consigo misma. Creo que te encontrarás con problemas si te deshaces de los paréntesis (porque existen por completo para manejar los problemas de orden de operaciones, pero no hay un requisito real de que las cosas funcionen de esta manera.
2. Pero también tiene implicaciones en otros campos.
   Heres uno: álgebra booleana. Voy a simplificar mucho el álgebra booleana con esta explicación, pero piense en ello como un sistema matemático de evaluación de expresiones lógicas. Verdadero es 1, falso es 0. Se le permiten variables, y todos los números son 1 o 0. Tiene los operadores lógicos estándar (y es *, o es +, no es -,). Las identidades principales son “1 + 1 = 1”, “1 + x = 1”, “-0 = 1” y “-1 = 0”, que son bastante sencillas.

   Dada la forma en que hemos definido “y” y “o”, la notación PEMDAS estándar funciona realmente bien, porque y (multiplicación) tiene prioridad sobre o (suma), que es cómo hemos definido la lógica.

   Del mismo modo, las funciones probalitistas funcionan bien con PEMDAS, y cambiar el orden de las operaciones, de nuevo, se mete con esos cálculos. Entonces podríamos cambiar la forma en que hacemos las cosas, y podríamos expresar todo de manera similar, pero hay un beneficio mínimo. O podríamos hacer que las personas aprendan múltiples sistemas, lo que … apesta.

3. Parte de por qué PEMDAS como está escrito es que las operaciones que son inversas entre sí se realizan al mismo tiempo, lo que en realidad es bastante importante.

   Una segunda razón es porque la mayoría de estas operaciones (excepto paréntesis) son operaciones anidadas más pequeñas. La exponenciación es multiplicación anidada. La multiplicación es una suma anidada. La división es la inversa de la multiplicación, pero en realidad no es una resta anidada (más sobre esto en un minuto). La resta es la suma con números negativos.

   Piensa, si la suma reemplaza a la multiplicación, entonces tendríamos que escribir 3 * 5 +2 como 5 + 5 + 5 + 2, lo cual es contra-intuitivo.

Espero que algo de eso tenga sentido.

¡Me encanta esta pregunta!

Es una regla

Creo porque se les ha dicho a los estudiantes que eviten ideas erróneas sobre el cálculo de una respuesta. Hay muchas escuelas en todo el mundo que siguen esta regla. PEMDAS le proporciona la secuencia en la que debe resolver un problema.

Sin embargo, es simplemente un método sugerido porque las escuelas en India usan BODMAS. BODMAS no tiene la misma secuencia que la de PEMDAS.

P- paréntesis, E- exponentes, M- multiplicación, D- división, A- Suma, S- Resta

BOD- grupo de división, M- multiplicación, A- Suma, S- Resta

Ahora puedes ver aquí claramente que en PEMDAS, multiplicas primero, pero en BODMAS, divides primero.

Entonces se podría decir que es simplemente un método sugerido. ¿Todavía tengo curiosidad por saber qué usan los científicos y los ingenieros? ¿Usan PEMDAS o BODMAS?

¿Cómo definirán PEMDAS y BODMAS?

Veamos una identidad algebraica simple: [matemáticas] (5 + 4) ^ 2 = 5 ^ 2 + 2 \ veces5 \ veces4 + 4 ^ 2 [/ matemáticas].

Una idea es que los paréntesis (o paréntesis) conviertan lo que está dentro en un objeto. Entonces, la potencia cuadrada de la izquierda se aplica a toda la expresión [matemáticas] (5 + 4) [/ matemáticas], no solo al paréntesis.

Esta es la regla básica para resolver ambigüedades en matemáticas: los paréntesis agrupan cosas. Las operaciones sobre paréntesis requieren que todo el contenido dentro del paréntesis se trate como un solo objeto, y al hacer los cálculos finales, primero debe resolver ese bloque.

Ahora, la potencia cuadrada de la izquierda se aplica a todo el bloque de paréntesis. ¿Qué tal el poder cuadrado más a la derecha? ¿A qué se aplica ese poder? Visualmente parece adjunto solo al número [matemáticas] 4 [/ matemáticas], así que vamos a mantenerlo como está. El poder está unido únicamente a que está conectado inmediatamente, siendo un [matemático] 4 [/ matemático] en este caso, a un [matemático] 5 [/ matemático] dos términos anteriores, o al bloque de paréntesis en el lado izquierdo de la ecuacion. Más adelante veremos dos limitaciones, o excepciones, de esta regla.

En el lado izquierdo de la ecuación tenemos cinco elementos separados por cuatro operadores: [matemática] 5 ^ 2 + 2 \ times5 \ times4 + 4 ^ 2 [/ math]. Esto es ambiguo y, por lo general, debe evitarse. Hay 24 formas de evaluar esto, aunque algunas de esas formas son equivalentes. Comienza con cualquiera de los operadores y opera los dos valores inmediatos, y usa el nuevo valor como un bloque. Resolvamos los poderes primero: [matemáticas] 25 + 2 \ veces5 \ veces4 + 16 [/ matemáticas]. Si resolvemos de izquierda a derecha, tenemos: [matemática] 25 + 2 = 27 [/ matemática], [matemática] 27 \ veces5 = 135 [/ matemática], [matemática] 135 \ veces4 = 540 [/ matemática], [ matemáticas] 540 + 16 = 556 [/ matemáticas]. Por otro lado, si opero de derecha a izquierda, tenemos [matemática] 4 + 16 = 20 [/ matemática], [matemática] 5 \ times20 = 100 [/ matemática], [matemática] 2 \ times100 = 200 [/ matemática ], [matemáticas] 25 + 200 = 225 [/ matemáticas]. Si resuelvo left +, right +, left ×, right ×, entonces [matemática] 25 + 2 = 27 [/ matemática], [matemática] 4 + 16 = 20 [/ matemática], [matemática] 27 \ veces5 = 135 [/ math], [math] 135 \ times20 = 2700 [/ math]; mientras que si resuelvo left ×, right ×, left +, right +, las operaciones serían: [math] 2 \ times5 = 10 [/ math], [math] 10 \ times4 = 40 [/ math], [math] 25 + 40 = 65 [/ matemáticas], [matemáticas] 65 + 16 = 81 [/ matemáticas]. Entonces, la ambigüedad nos ha proporcionado, al menos, cuatro valores diferentes: [matemáticas] 81, 225, 556, 2700 [/ matemáticas].

Para evitar la ambigüedad, debo usar paréntesis para indicar cuál debe resolverse primero: [matemáticas] (25+ (2 \ veces (5 \ veces4))) + 16 [/ matemáticas].

Ahora. Tenemos que la suma tiene una propiedad: [matemáticas] (a + b) + c = a + (b + c) [/ matemáticas]. Esto se llama propiedad asociativa, y en realidad significa que no importa cómo agrupamos (asociamos) los elementos, la suma es la misma. Entonces, podemos simplificar esto y escribir solo [matemáticas] a + b + c [/ matemáticas]. No importa si opera de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, el resultado será el mismo y los paréntesis son innecesarios.

Lo mismo se aplica a la multiplicación: [math] (a \ times b) \ times c = a \ times (b \ times c) [/ math], por lo tanto, escribir [math] a \ times b \ times c [/ math] es bueno.

Entonces, nuestra expresión ambigua se puede simplificar a [matemáticas] 25+ (2 \ veces5 \ veces4) +16 [/ matemáticas], y el resultado no es nada diferente a [matemáticas] 81 [/ matemáticas].

Otra forma de evitar la ambigüedad es usar un símbolo más discreto para que una parte de la expresión se vea como un bloque, sin necesidad de paréntesis. El uso del punto medio elevado ([matemática] \ cdot [/ matemática]) en lugar de la cruz ([matemática] \ veces [/ matemática]) puede lograr que: [matemática] (5 + 4) ^ 2 = 5 ^ 2 +2 \ cdot5 \ cdot4 + 4 ^ 4 [/ matemáticas]. (Esto funciona particularmente en escritura a mano, no tan bueno en tipografía).

Veamos otra identidad: [matemáticas] 3 \ veces (4 + 2) = (3 \ veces4) + (3 \ veces2) [/ matemáticas]. Esta identidad se llama distribución. Y este tipo de identidades sugiere la necesidad de definir la multiplicación como prioritario, pero no nos apuremos. Probemos con el punto más discreto: [math] 3 \ cdot (4 + 2) = 3 \ cdot4 + 3 \ cdot2 [/ math].

Al usar letras para reemplazar números, podemos hacer lo siguiente: [matemáticas] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 \ cdot a \ cdot b + b ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] u \ cdot (v + w) = u \ cdot v + u \ cdot w [/ math]. Podemos hacer algo que no es fácil con los números: suprimir por completo el símbolo de multiplicación. Simplemente defina que [math] ab [/ math] solo significa [math] a \ times b [/ math]. No funciona con números porque [matemáticas] 254 [/ matemáticas] podría significar dos veces cinco veces cuatro o doscientos cincuenta y cuatro, y dado que no hay forma de escribir lo último, nunca significa lo primero.

Pero con letras, letras y números, no tenemos esta ambigüedad. Entonces podemos decir: [matemáticas] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] u (v + w) = uv + uw [/ matemáticas]. Los bloques de elementos que se multiplican entre sí forman bloques visualmente distinguibles, que operan antes que los otros bloques. Sin ambigüedad

Entonces nuestra regla es: Paréntesis, Exponentes, Bloques visuales, Otros operadores: La regla PEBO.

Ahora, vamos a las máquinas, y la necesidad de codificar en lenguajes de programación.

Mientras que algunos idiomas como METAFONT / METAPOST usan convenciones algebraicas, y puede escribir [matemáticas] a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ matemáticas] como a^2+2ab+b^2 , estos idiomas son la excepción. En muchos idiomas, las variables se pueden escribir con más de una letra, por lo tanto, ab no significa a veces b , sino una variable diferente. Por lo tanto, todas las multiplicaciones deben ser explícitas, y se eligió el símbolo * . Entonces la expresión se convierte (en Pascal) a**2+2*a*b+b**2 o (en C) a*a+2*a*b+b*b . Pero, nuevamente, tenemos el problema de la ambigüedad que vimos en [matemáticas] 5 ^ 2 + 2 \ veces5 \ veces4 + 4 ^ 2 [/ matemáticas], que podemos resolver escribiendo ((a**2)+(2*(a*b)))+(b**2) . Pero esto se vuelve demasiado detallado, con demasiados paréntesis (y posibilidad de desajuste entre paréntesis, y no del todo fácil de leer). Entonces la idea es:

1. haga la notación lo más cerca posible de [matemáticas] a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ matemáticas] y es poca necesidad de paréntesis; y
2. defina reglas claras que el intérprete o el compilador puedan seguir sin ambigüedad (informe a los programadores sobre esas reglas).

Entonces, al establecer la regla de que la multiplicación se evalúa antes de la suma (y en bloques de multiplicaciones y en bloques de adiciones, evalúe de izquierda a derecha), entonces hay un buen compromiso. Mantenga la regla sobre paréntesis primero y exponentes, y está bien. a**2+2*a*b+b**2 solo tiene una forma de resolverse, y es equivalente a ((a**2)+((2*a)*b))+(b**2) . Al permitir espacios, puede mejorar la legibilidad sin necesidad de paréntesis: a**2 + 2*a*b + b**2 . Definir espacios como bloques visuales no funciona bien para el procesamiento de máquinas. Es solo una ayuda visual para los humanos que leen el código. Entonces a * b+c no significa [matemáticas] a (b + c) [/ matemáticas] sino [matemáticas] (ab) + c [/ matemáticas].

Entonces, cuando se programa, la regla se convierte en: Paréntesis, Exponentes, Multiplicación, Adición: PEMA.

Ahora, pasemos a sustracciones y divisiones. Una resta es un tipo de suma. [matemática] 7-4 [/ matemática] es equivalente a [matemática] 7 + (- 4) [/ matemática], donde [matemática] -4 [/ matemática] es el aditivo opuesto de [matemática] 4 [/ matemática] . Por lo tanto, parece razonable tomar la resta en el mismo nivel de suma. Pero, la resta no es asociativa: en el caso general [math] (ab) -c \ neq a- (bc) [/ math], también: [math] (ab) + c \ neq a- (b + c) [/matemáticas]. La regla convencional utilizada en aritmética y seguida en álgebra es que, sin paréntesis, la resta está en pareja con la suma y ambas evalúan de izquierda a derecha, entonces [matemáticas] 9 + 8-7-6 + 5-4-3 + 2 + 1 [/ math] es equivalente a [math] (((((((9 + 8) -7) -6) +5) -4) -3) +2) +1 [/ math].

La división es la multiplicación, lo que la resta es la suma. [matemática] 7 \ div4 [/ matemática] es equivalente a [matemática] 7 \ veces4 ^ {- 1} [/ matemática], donde [matemática] 4 ^ {- 1} [/ matemática] es el inverso multiplicativo de [matemática] ] 4 [/ matemáticas]. Además, la división no es asociativa: [matemática] (a \ div b) \ div c \ neq a \ div (b \ div c) [/ math] y [math] (a \ div b) \ times c \ neq a \ div (b \ veces c) [/ math]. En la regla general, no existe una convención estándar para evaluar de izquierda a derecha, por lo tanto, cuando escribe matemáticas, usando [math] \ times [/ math] y [math] \ div [/ math] siempre debe usar paréntesis.

Así como con la notación de puntos, y la notación de adposición. Hay otras anotaciones disponibles para la división. Una es la notación fraccional: [matemática] 7 \ div4 = \ frac74 [/ matemática], y hay una variación de la notación fraccional usando un solidus ([matemática] / [/ matemática]): [matemática] \ frac74 = 7 / 4 [/ matemáticas].

Cuando llegó el momento de codificar en lenguajes de programación, decidieron usar la barra oblicua / como solidus y el guión - como signo menos. En cuanto a las reglas: la suma y la resta están en el mismo nivel y evalúan de izquierda a derecha, y la multiplicación y división son del mismo nivel y evalúan de izquierda a derecha.

Entonces la regla se convierte en Paréntesis, Exponentes, Multiplicaciones y Divisiones, Sumas y Restas: PEMDAS.

Muchos lenguajes de programación, como C (y derivados C ++, Java, PHP), Pascal, BASIC, etc. usan PEMDAS o una variante cercana de este, para que los codificadores puedan guardar algunos paréntesis y aún así transmitir el significado correcto al ser humano. revisores y procesadores de máquinas. Algunas calculadoras modernas, incluido el motor de búsqueda de Google, en el que ingresa la expresión completa antes de evaluar, también usan PEMDAS. Las calculadoras antiguas que evalúan algo cada vez que presionas una tecla, usan una asociación estrictamente de izquierda a derecha.

Cuando escribes matemáticas por razones matemáticas, es mejor que uses la regla PEBO anterior y hagas todo lo posible para no dejar nada ambiguo.

Por ejemplo: [matemáticas] (d + t) ^ 3 = d ^ 3 + 3d ^ 2t + 3dt ^ 2 + t ^ 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {d ^ 2} {dt ^ 2} x [/ math] es perfectamente inequívoco, así como un área de [math] \ def \ cm {\, \ text {cm}} 3 \ cm \ times4 \ cm = 12 \ cm ^ 2 [/ math], mientras que [matemáticas] 3c \ veces (2 m) ^ 2 = 12 cm ^ 2 [/ matemáticas].

PEMDAS es un mnemotécnico para (parte de) una convención para escribir (y leer) expresiones matemáticas. El propósito de la convención es evitar tener que agregar agrupaciones explícitas en expresiones comunes. Con la convención firmemente en la mano, la expresión [matemática] x ^ 4 + 3x ^ 2 + 2x + 5 [/ matemática] tiene un significado claro e inequívoco, y es más rápida de leer y escribir que la [matemática] explícita ((( x ^ 4) + (3 \ cdot (x ^ 2))) + (2 \ cdot x)) + 5 [/ math] (o la notación FORTHish postfix x 4 ^ 3 x ^ * + 2 x * + 5 + , o notación de prefijo + + + ^ x 4 * 3 ^ x 2 * 2 x 5 , que son inequívocas y explícitas).

Sin embargo, como indican las notaciones alternativas que he mostrado, hay otras convenciones, otras reglas dependiendo de la situación. La mayoría de las personas normalmente usan la convención de notación infija.

PEMDAS por sí solo no cubre todo lo relacionado con la convención. Por ejemplo, no dice si debe interpretar [math] abc [/ math] como [math] (ab) c [/ math] o [math] a (bc) [/ math]. Pero como la multiplicación es (generalmente) asociativa, no importa. La multiplicación rara vez no es asociativa que la convención básicamente dice que cuando [math] (ab) c \ neq a (bc) [/ math] no se usa [math] abc [/ math]. Es ambiguo Sin embargo, te encuentras con el mismo problema con la exponenciación, en que [matemáticas] (a ^ b) ^ c \ neq a ^ {(b ^ c)} [/ matemáticas], pero la convención dice que [matemáticas] a ^ {b ^ c} [/ math] debe interpretarse como este último.

De manera similar, dado que la división no es asociativa, la convención dice que no use [math] a / b / c [/ math]. En su lugar, debe poner el año primero … perdón, convención incorrecta y notación ambigua incorrecta … En su lugar, debe usar explícitamente paréntesis u otros mecanismos de agrupación para eliminar la ambigüedad (como [matemáticas] \ frac {a} {b / c} [ / math] o [math] (a / b) / c [/ math], que notaré que no son equivalentes).

La resta sigue una convención diferente. Al igual que la división, no es asociativa, por lo que [math] (ab) -c \ neq a- (bc) [/ math], lo que sugeriría que [math] abc [/ math] es ambiguo. Pero la convención es tratar [math] ab [/ math] como [math] a + (-b) [/ math], entonces [math] abc = a + (-b) + (-c) [/ math] , que es asociativo tan inequívoco incluso sin los paréntesis que agrupan las adiciones.

Es aceptable violar las convenciones siempre que lo que esté haciendo sea claro y sin ambigüedades. Por ejemplo, es convencional escribir integrales como [math] \ int \ ldots dx [/ math], con un ejemplo típico es [math] \ int x ^ 4 + 3x ^ 2 dx [/ math]. El signo integral [math] \ int [/ math] y el diferencial [math] dx [/ math] forman un ámbito en el que la variable [math] x [/ math] tiene significado, por lo que funciona bien para agrupar las expresiones que usa la variable de integración. Así que puedes imaginar mi confusión momentánea la primera vez que vi a alguien escribiendo [matemáticas] \ int dx f (x) [/ matemáticas]. No me llevó mucho tiempo entender lo que significaban, y en contexto, fue un poco mejor que la convención.

PEMDAS no es la regla, toda la convención es, e incluso con eso, la claridad prevalece sobre todo.

Es simplemente un método sugerido.

Se enseña en la escuela con (creo) 2 propósitos principales

1. Para incluir convenciones simples como corchetes y que la multiplicación se una más fuerte que la suma a menos que tenga fracciones
2. Para calificar respuestas ambiguas y poner una solución rápida a la notación mal enseñada.

El primero es útil. Te acostumbra a la interpretación de expresiones aritméticas.

El segundo es bastante malo. El sistema de memorización de memoria difiere de los demás y no está de acuerdo con el uso estándar de los matemáticos.

Conduce a discusiones entre personas con diferentes sistemas aprendidos y sugiere que las representaciones ambiguas no lo son.

Apoya la idea de que todas las cosas escritas de alguna manera tienen sentido.

Nadie espera [matemáticas] 43 ++ – 3839 [/ matemáticas] [matemáticas] 3727 * – [/ matemáticas]

tener sentido. Entonces, ¿por qué esperarlo de otras expresiones?

Los símbolos que usamos están ahí para comunicarnos. La matemática es abstracta y no los símbolos en sí.

El camino correcto a seguir cuando se ve una mala notación es

“Esta es una mala notación, no tiene sentido, así que ve a reescribirla”

En lugar de aplicar alguna regla.

Porque alguien que usa una expresión ambigua probablemente no conoce la regla de todos modos.

Entonces puedes usarlo para calificar. Pero para las matemáticas como un esfuerzo colectivo que requiere una comunicación clara, ¡no es apropiado!

En la Edad Media, las personas que escribían libros de matemáticas usaban la convención que quisieran, pero fuera lo que fuera, lo declararon al principio. Con los años, solo se utilizan 2 estándares, PEMDAS y BIDMAS / BODMAS. Parecen ser ligeramente diferentes, pero eso es una ilusión, ya que la división y la multiplicación están en el mismo nivel.

Existen las prioridades de las diferentes operaciones, y PEMDAS sería solo el acrónimo para recordarlas, aunque lo use con cuidado porque podría pensar que una suma tiene prioridad sobre una resta, o que una multiplicación tiene prioridad sobre una división, esto en realidad no es En el caso, dentro de esos pares cada uno tiene la misma prioridad y usted hace la operación de izquierda a derecha.

Es una convención que nos permite escribir menos (). Si hay seres sintientes en otros planetas, pueden o no usarlo.