Considere esta función [math] f (x) = \ log \ log (x) [/ math] para [math] x> 1 [/ math].
La segunda derivada de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] es [matemáticas] f ” (x) = – \ frac {1+ \ log x} {(x \ log x) ^ 2} 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, esta función es cóncava.
Usando la desigualdad de Jensen,
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[matemáticas] \ frac {f (a) + f (a + 2)} {2} \ leq f \ left (\ frac {a + a + 2} {2} \ right) = f (a + 1) [ /matemáticas]
La igualdad no se cumple porque [matemática] a \ neq a + 2 [/ matemática], por lo tanto
[matemáticas] \ log \ log a + \ log \ log (a + 2) <2 \ log \ log (a + 1) [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto \ exp (\ log \ log a + \ log \ log (a + 2)) <\ exp (2 \ log \ log (a + 1)) [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto \ log a \ log (a + 2) <\ log ^ 2 (a + 1) [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto \ frac {\ log (a + 2)} {\ log (a + 1)} <\ frac {\ log (a + 1)} {\ log a} [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto \ log_ {a + 1} (a + 2) <\ log {a} (a + 1) [/ matemáticas]