Si [math] a \ in (1, + \ infty) [/ math], entonces [math] \ log_a (a + 1)> \ log_ {a + 1} (a + 2), [/ math] ¿cómo lo pruebas?

Considere esta función [math] f (x) = \ log \ log (x) [/ math] para [math] x> 1 [/ math].

La segunda derivada de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] es [matemáticas] f ” (x) = – \ frac {1+ \ log x} {(x \ log x) ^ 2} 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, esta función es cóncava.

Usando la desigualdad de Jensen,

[matemáticas] \ frac {f (a) + f (a + 2)} {2} \ leq f \ left (\ frac {a + a + 2} {2} \ right) = f (a + 1) [ /matemáticas]

La igualdad no se cumple porque [matemática] a \ neq a + 2 [/ matemática], por lo tanto

[matemáticas] \ log \ log a + \ log \ log (a + 2) <2 \ log \ log (a + 1) [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \ exp (\ log \ log a + \ log \ log (a + 2)) <\ exp (2 \ log \ log (a + 1)) [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \ log a \ log (a + 2) <\ log ^ 2 (a + 1) [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \ frac {\ log (a + 2)} {\ log (a + 1)} <\ frac {\ log (a + 1)} {\ log a} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \ log_ {a + 1} (a + 2) <\ log {a} (a + 1) [/ matemáticas]

Llevemos ambos a la base ‘a’. 0> log_a (a + 2) / log_a (a + 1) – ((log_a (a + 1)) ^ 2) / log_a (a + 1). Obtiene (log_a (a + 2) -log_a (a + 1)) / (log_a (a + 1) que es positivo para TODOS los valores completos de a dado el hecho de que a + 1> a. Lo que hace que esta teoría sea un poco tembloroso. Puedo refutarlo pero la prueba parece imposible.