Por supuesto, esto es lógicamente correcto. En matemáticas, la hipótesis anterior se conoce como la paradoja de Russell (o la antinomia de Russell ). La paradoja en general explica lo siguiente:
Según la ingenua teoría de conjuntos, cualquier colección definible es un conjunto.
Sea R el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Si R no es un miembro de sí mismo, entonces su definición dicta que debe contenerse a sí mismo, y si se contiene a sí mismo, contradice su propia definición como el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Esta contradicción es la paradoja de Russell. Simbólicamente:
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Presentando una prueba simple de la paradoja:
- Suponga por contradicción que existe el conjunto de todos los conjuntos (llámelo S).
- Esto significa que su conjunto de potencia ℘ (S) también existe.
- Por el teorema de Cantor, sabemos | S | <| ℘ (S) |.
- Como | S | <| ℘ (S) |, sabemos que ℘ (S) −S ≠ ∅
- Como cada elemento de ℘ (S) es un conjunto, sabemos que ℘ (S) −S = ∅.
- Sin embargo, sabemos que ℘ (S) −S ≠ ∅.
- Por lo tanto, tenemos una contradicción, entonces S no existe.
