¿Cómo convertimos una teoría de campo clásica en una teoría de campo cuántica?

Primero, escribe el lagrangiano en la forma

[matemáticas] {\ cal L} = \ dfrac {1} {2} (\ partial_t \ phi) ^ 2- \ dfrac {1} {2} (\ boldsymbol {\ mathrm {\ nabla}} \ phi) ^ 2 – \ dfrac {1} {2} m ^ 2 \ phi ^ 2-V (\ phi). \ tag * {} [/ math]

La densidad de momento y el hamiltoniano correspondiente a este lagrangiano se escriben como de costumbre:

[matemáticas] \ pi = \ dfrac {\ partial {\ cal L}} {\ partial (\ partial_t \ phi)} = \ partial_t \ phi, \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] {\ cal H} = \ pi \ partial_t \ phi – {\ cal L} = \ dfrac {\ pi ^ 2} {2} + \ dfrac {1} {2} (\ boldsymbol {\ mathrm {\ nabla}} \ phi) ^ 2 + \ dfrac {1} {2} m ^ 2 \ phi ^ 2 + V (\ phi). \ tag * {} [/ math]

Ahora definimos

[math] \ omega = \ sqrt {\ boldsymbol {\ mathrm {k}} ^ 2 + m ^ 2}. \ tag * {} [/ math]

A continuación, escribimos [math] \ phi [/ math] en forma de una integral de Fourier:

[matemáticas] \ phi (t, \ boldsymbol {\ mathrm {x}}) = \ displaystyle \ int \ dfrac {d ^ 3 \ boldsymbol {\ mathrm {k}}} {(2 \ pi) ^ 3 \ sqrt { 2 \ hbar \ omega}} \ hbar \ left [a (\ omega, \ boldsymbol {\ mathrm {k}}) + a ^ \ dagger (- \ omega, – \ boldsymbol {\ mathrm {k}}) \ right ] e ^ {- i [\ omega t- \ boldsymbol {\ mathrm {k}} \ cdot \ boldsymbol {\ mathrm {x}}]}. \ tag * {} [/ math]

Al diferenciar [math] \ phi [/ math], obtenemos expresiones para [math] \ pi [/ math] y [math] \ boldsymbol {\ mathrm {\ nabla}} \ phi [/ math]:

[matemáticas] \ pi (t, \ boldsymbol {\ mathrm {x}}) = \ displaystyle \ int \ dfrac {d ^ 3 \ boldsymbol {\ mathrm {k}}} {(2 \ pi) ^ 3 \ sqrt { 2 \ hbar \ omega}} \ hbar (-i \ omega) \ left [a (\ omega, \ boldsymbol {\ mathrm {k}}) – a ^ \ dagger (- \ omega, – \ boldsymbol {\ mathrm { k}}) \ right] e ^ {- i [\ omega t- \ boldsymbol {\ mathrm {k}} \ cdot \ boldsymbol {\ mathrm {x}}]}, \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ boldsymbol {\ mathrm {\ nabla}} \ phi (t, \ boldsymbol {\ mathrm {x}}) = \ displaystyle \ int \ dfrac {d ^ 3 \ boldsymbol {\ mathrm {k}}} { (2 \ pi) ^ 3 \ sqrt {2 \ hbar \ omega}} \ hbar (i \ boldsymbol {\ mathrm {k}}) \ left [a (\ omega, \ boldsymbol {\ mathrm {k}}) + a ^ \ daga (- \ omega, – \ boldsymbol {\ mathrm {k}}) \ right] e ^ {- i [\ omega t- \ boldsymbol {\ mathrm {k}} \ cdot \ boldsymbol {\ mathrm { x}}]}. \ tag * {} [/ math]

Todo hasta este punto es la teoría clásica. Acabamos de realizar algunos cálculos y algo de álgebra. Para pasar a la teoría cuántica, asumimos que los coeficientes de Fourier [matemática] a [/ matemática] y [matemática] a ^ \ daga [/ matemática] son, de hecho, valores propios de los operadores correspondientes [matemática] \ hat {a} [ / math] y [math] \ hat {a} ^ \ dagger [/ math], actuando sobre una función propia [math] \ psi [/ math].

Además, suponemos que estos operadores tienen el conmutador

[matemática] [\ hat {a} (\ omega, \ boldsymbol {\ mathrm {k}}), \ hat {a} ^ \ dagger (\ omega, \ boldsymbol {\ mathrm {k}} ‘)] = ( 2 \ pi) ^ 3 \ delta ^ 3 (\ boldsymbol {\ mathrm {k}} – \ boldsymbol {\ mathrm {k}} ‘). \ Tag * {} [/ math]

Esto realmente es todo lo que necesitamos. Por ejemplo, aunque se necesita un poco de álgebra, ahora podemos expresar el conmutador de [math] \ phi [/ math] y [math] \ pi [/ math]:

[matemáticas] [\ hat {\ phi} (t, \ boldsymbol {\ mathrm {x}}), \ hat {\ pi} (t, \ boldsymbol {\ mathrm {x}} ‘)] = i \ hbar \ delta ^ 3 (\ boldsymbol {\ mathrm {x}} – \ boldsymbol {\ mathrm {x}} ‘). \ tag * {} [/ math]

También podemos derivar una forma explícita del Hamiltoniano, junto con el infame bit de energía de punto cero:

[matemáticas] \ hat {H} = \ displaystyle \ int \ hat {\ cal H} ~ d ^ 3x = \ hbar \ omega \ left \ {\ dfrac {1} {2} + \ displaystyle \ int \ dfrac {d ^ 3 \ boldsymbol {\ mathrm {k}}} {(2 \ pi) ^ 3} \ hat {a} ^ \ dagger (\ omega, \ boldsymbol {\ mathrm {k}}) \ hat {a} (\ omega, \ boldsymbol {\ mathrm {k}}) \ right \} + \ displaystyle \ int d ^ 3xV (\ hat {\ phi}). \ tag * {} [/ math]

Esto es solo un boceto, por cierto. Espero que no parezca una autopromoción inapropiada, pero esta es solo una versión abreviada de una derivación más detallada que está en mi sitio web, y que también demuestra cómo la teoría cuántica (partícula) no relativista, su contraparte relativista, y la teoría cuántica de campos están relacionadas: Construir una teoría cuántica. Y, por supuesto, ni esta respuesta ni mi página web son sustitutos de un libro decente sobre QFT, como Peskin y Schroeder.

Hay dos formas: las relaciones de conmutación canónica y el camino integral.

Debería ser sorprendente que estas dos formulaciones separadas sean exactamente iguales. Uno no es relativista, el otro obviamente no es probabilístico, pero ambos producen teorías relativistas y probabilísticas que satisfacen los axiomas de la mecánica cuántica.

Relaciones canónicas de conmutación:

¿Cómo cuantificas alguna teoría clásica?

Toma la variable y su momento conjugado e impone las relaciones de conmutación canónica:

[matemáticas] [p, x] = i \ hbar [/ matemáticas]

¿Cuál es el impulso?

[matemáticas] p = \ frac {\ delta L} {\ delta \ dot {x}} [/ matemáticas]

Hacemos lo mismo para una teoría de campo. Hay algunas molestias porque ahora cada punto en el espacio es una variable de campo independiente:

[matemáticas] x \ rightarrow \ phi (x) [/ matemáticas]

con el impulso convirtiéndose

[matemáticas] \ pi (x) = \ frac {\ delta L} {\ delta \ dot {\ phi} (x)} [/ matemáticas]

Las relaciones canónicas de conmutación son

[matemáticas] [\ pi (x), \ phi (y)] = i \ hbar \ delta ^ {3} (xy) [/ matemáticas]

¡Has cuantificado tu teoría! Felicidades.

Puede utilizar técnicas estándar de la teoría de perturbaciones adaptadas para la teoría de campo para hacer cálculos.

Ruta integral

La ruta integral para un sistema mecánico cuántico es

[matemáticas] Z = \ int [dx (t)] \ exp (\ frac {i} {\ hbar} \ int dt L) [/ matemáticas]

Puede calcular los valores de expectativa para observables por

[matemáticas] \ langle O (x) \ rangle = \ int [dx] \ exp (i S / \ hbar) O (x) / Z. [/ math]

La ruta integral para una teoría de campo es la misma.

[matemática] Z = \ int [D \ phi] \ exp (\ frac {i} {\ hbar} \ int d ^ 4x \ mathcal {L}) [/ math]

Típicamente en la mecánica cuántica, introducimos fuentes para los campos en los que la generación funcional, [matemática] Z [/ matemática], se convierte en funcional de

[matemáticas] Z [J] = \ int [D \ phi] \ exp (\ frac {i} {\ hbar} (S + \ int d ^ 4 x J \ phi)) [/ matemáticas]

Con un poco de magia de transformación de Legendre, conviertes esto en una acción cuántica efectiva para el campo de fondo clásico, que luego se comporta bajo las ecuaciones ordinarias de Euler-Lagrange a pesar de que es una teoría mecánica cuántica: la mecánica cuántica se ha tomado “efectivamente” en cuenta cambiando su acción a una diferente de la clásica con la que comenzó.

Esta es una pregunta fundamental para la que los físicos no tienen una respuesta. Sin embargo, el manuscrito sobre la naturaleza y las características de las partículas subatómicas y espaciales ofrece una posible respuesta a muchos de los valores intrínsecos asumidos por los físicos hoy en día, como la carga de una partícula o los sabores de los quarks o el significado de las partículas virtuales o la dimensión del tiempo, etc. .

De acuerdo con estos experimentos de pensamientos, el tejido del espacio está hecho de partículas espaciales (probablemente eso es lo que se especula que son los bosones de Higgs). Cada partícula espacial como un puble con Geometría Hegaxon. Está formado por seis hiladores que forman los núcleos y las cadenas de energía que forman la nube de energía. Estas partículas espaciales están entrelazadas por los hiladores que forman el tejido fuerte pero muy flexible del espacio. A medida que los hilanderos y las cadenas de energía en órbita de las Partículas Subatómicas interactúan con las Partículas Espaciales, se forma el campo cuántico relevante. Para leer más, haga clic en el enlace del manuscrito completo que ofrece una explicación total de cómo funciona el universo:

La naturaleza y las características de las partículas subatómicas y espaciales

Cuantificas el campo promocionando los campos para que sean operadores (¡no sé por qué es una promoción! Pero así es como lo llaman). Luego haces una transformación de Fourier: escribes el campo como parte integral de los operadores de creación y destrucción

[matemáticas] \ phi (x) = \ int d ^ 4 {k} (ae ^ {- ikx} + a ^ \ dagger e ^ {ikx}) [/ math]

donde [math] k, x [/ math] son ​​cuatro vectores (una vez y tres componentes espaciales). Entonces cada operador de creación crea un campo cuántico. (Tenga en cuenta que esto tiene que ser una integral, no una suma, porque estamos hablando de un campo continuo).

Luego escribes el impulso, tal como lo harías en mecánica analítica, como la derivada del campo por su derivada del tiempo.

Encontrará que tiene relaciones de conmutación entre ellos. Lo mismo se puede hacer para los campos que son más complicados que los escalares (como los campos EM, por ejemplo, donde se cuantifica el potencial, A).

Todo esto se explica mucho mejor de lo que lo he hecho en los libros sobre QFT, por ejemplo, el viejo clásico es Bjorken y Drell, “Campos cuánticos relativistas” y un clásico más reciente es el libro de la teoría del campo cuántico de Peskin. También podría buscar en Google “cuantización de campo escalar”. Aquí hay un sitio bastante bueno que encontré:

http://www.phys.nthu.edu.tw/~cla …

La respuesta de Victor Toth aquí es más detallada y precisa que la mía, que tenía la intención de dar la idea.

Usted impone relaciones de conmutación (para bosones) o relaciones de anticommutación (para fermiones) en la posición y el impulso canónicos, convirtiéndolos en operadores. Su clásico hamiltoniano se convierte en un operador cuántico hamiltoniano y Bob es su tío.