Hay algunas formas diferentes de hablar sobre la mecánica cuántica que iluminan diferentes aspectos de la teoría. En particular, el enfoque de operadores y espacios de Hilbert es un lenguaje poderoso para usar que hace que la cuantización sea muy explícita, de hecho, una vez que diagonaliza una matriz, solo aparecen unos pocos valores propios, ¿verdad?
Sin embargo, para ver por qué la cuantificación debe aparecer para comenzar, en lugar de simplemente ilustrar que lo hace, creo que es útil mirar directamente la ecuación de Schrodinger. En particular, echemos un vistazo al oscilador simplemente armónico e intentemos encontrar sus energías:
[matemáticas] – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2 \ psi} {dx ^ 2} + \ frac {1} {2} m \ omega ^ 2 x ^ 2 \ psi = E \ psi (x) [/ matemáticas]
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Si bien se nos ha enseñado que solo se permite un número discreto de energías, a saber, [matemáticas] E_n = \ hbar \ omega (n + 1/2) [/ matemáticas], esto simplemente no es cierto a menos que la ecuación anterior se complemente con la apropiada condiciones de borde. De hecho, elija cualquier energía [matemática] E [/ matemática] y conéctela en el lado derecho arriba. Luego, después de elegir su valor favorito para [math] \ psi ‘(0) [/ math], la ecuación de Schrodinger anterior le dice con precisión cómo extender la función de onda a otras regiones del espacio. Como resultado, la ecuación de Schrodinger anterior tiene un continuo de soluciones. Entonces, ¿de dónde viene la cuantización? Bueno, para casi cualquier valor de [matemáticas] E [/ matemáticas], la solución que obtienes de la ecuación de Schrodinger termina explotando en el infinito. Como al final del día, queremos normalizar la función de onda para permitir una interpretación probabilística, debemos exigir que
[matemáticas] \ psi (x) \ rightarrow 0 \ mbox {, como} x \ rightarrow \ pm \ infty [/ math]
Esta condición límite elimina prácticamente todas las soluciones anteriores y selecciona solo un conjunto discreto de energías. Como resultado, son las condiciones límite en la mecánica cuántica las que realmente imponen la cuantización. Además, estas condiciones límite se derivan del requisito de que nuestras funciones de onda sean mucho más normalizables. Esto, por supuesto, tiene que ver con probabilidades que suman uno. En física, este tipo de requisitos van bajo el término general “unitaridad”. En otras palabras, es la unitaridad de la mecánica cuántica la responsable de la cuantización.
Me gustaría mostrarle cómo se ve esto desde la perspectiva del operador, donde no resolvemos realmente las ecuaciones diferenciales y las condiciones de contorno no se encuentran en ninguna parte. Sin embargo, incluso en el formalismo del operador, se debe aplicar la unitaridad, y como veremos, eso es precisamente lo que nos da energías cuantificadas. Veamos nuevamente el oscilador armónico.
Cuando resuelve el oscilador armónico utilizando el formalismo del operador, define los operadores de subida y bajada.
[matemáticas] a, una ^ \ daga. [/ matemáticas]
En términos de estos operadores, el hamiltoniano del sistema se puede escribir como
[matemáticas] H = \ hbar \ omega (a ^ \ daga a + 1/2) [/ matemáticas]
Cuando [math] a [/ math] actúa en un estado con energía [math] E [/ math], produce un estado con energía [math] E- \ hbar \ omega [/ math]. De manera similar [matemática] una ^ \ daga [/ matemática] aumenta la energía en esta misma cantidad. El argumento es más o menos así: comience con cualquier estado de energía [matemática] E [/ matemática] y actúe con el operador de reducción [matemática] n [/ matemática] veces. Esto le da un estado con energía [matemática] E – n \ hbar \ omega [/ matemática]. Después de demasiadas aplicaciones del operador de descenso, la energía se vuelve negativa. Aquí es donde entran en juego muchos malentendidos.
La mayoría de las personas en este punto agitan un poco las manos y dicen que las energías negativas no son físicas y, por lo tanto, debe existir un estado aniquilado por el operador de descenso que llamamos [matemáticas] | 0 \ rangle [/ matemáticas]. Si bien es cierto que dicho estado debe existir, la razón real (como explicaré más adelante) para esto es la unitaridad. De cualquier manera, continuemos con la discusión y volvamos a este punto en un momento.
Entonces, dado que cualquier estado de energía debe terminar con [math] | 0 \ rangle [/ math], también podemos comenzar con [math] | 0 \ rangle [/ math] y construir el resto aplicando un montón de [math ] a ^ \ daga [/ matemáticas] s. Viola, la energía se cuantifica. Observe lo importante que es la existencia del estado fundamental para la cuantificación de la energía. Sin ella, simplemente tenemos una forma de construir un montón de escaleras de estados de energía, pero nada que nos diga que solo existe una de esas escaleras. En otras palabras, sin la existencia del estado fundamental, la energía no se cuantificaría.
Ahora, ¿por qué debe existir ese estado? No hay nada fundamentalmente malo en las energías negativas, aunque suena un poco extraño, supongo. De cualquier manera, la verdadera razón es la unitaridad. En particular, todos los estados deben tener una norma positiva para que podamos normalizarlos adecuadamente:
[matemáticas] \ langle \ psi | \ psi \ rangle> 0 [/ matemáticas]
Sin embargo, si existe un estado con energía negativa, eso significa que
[matemáticas] \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle <0 \ rightarrow \ langle \ psi | a ^ \ dagger a | \ psi \ rangle <0 [/ math]
Sin embargo, esto significa que el estado [math] a | \ psi \ rangle [/ math] tiene una norma negativa y, por lo tanto, no se puede normalizar. En otras palabras, hemos roto la unitaridad. Por lo tanto, dicho estado no puede existir y, por lo tanto, en algún momento la escalera debe terminar, el estado [matemático] | 0 \ rangle [/ matemático] debe existir y la energía se cuantifica.
Como se puede ver en estos ejemplos, la cuantización de la energía es un resultado directo de la unitaridad que se puede ver en términos de condiciones límite o en la positividad de las normas dependiendo del formalismo que utilice.