Como la respuesta de David Joyce a ¿Cómo puede tener forma el espacio? dice que hay propiedades intrínsecas de un espacio que pueden examinarse desde dentro del espacio mismo. La curvatura es una de esas propiedades. El tema de Topología se especializa en tales propiedades (aunque la curvatura requiere una medida además de las propiedades topológicas).
Una de las propiedades topológicas más simples es si un espacio está simplemente conectado o no. Si es así, cualquier circuito cerrado puede reducirse a un punto completamente dentro del espacio. Informalmente, no hay “agujeros” en el espacio alrededor del cual el bucle cerrado puede atascarse.
Una esfera (como la superficie aproximada de la Tierra) está simplemente conectada. Un ejemplo sencillo de una superficie que no está simplemente conectada es un toro (también conocido como rosquilla o anillo de salsa). En realidad, hay dos bucles cerrados diferentes que puedes dibujar en un toro que no se pueden reducir a un punto: uno que rodea el agujero en el medio del anillo; y el otro va alrededor del tubo que forma el anillo.
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Es probable que el universo esté simplemente conectado, pero es posible que no esté simplemente conectado. Del mismo modo, el universo puede estar positivamente curvado como una esfera, o plano como un plano, o negativamente curvado como una forma de silla de montar.
Sabemos que el espacio-tiempo está curvado localmente por la masa y la energía dentro de él. Actualmente, no sabemos cómo “se ve” esta curvatura en la escala de todo el universo observable, incluso si hay “agujeros” que la hagan no simplemente conectada.
