La idea de “Anillo” es una generalización de los enteros. Los anillos también tienen generalizaciones de factorización y números primos.
Los “campos” como los números racionales, reales o complejos están equipados con dos operaciones + y *, cada operación tiene un elemento de identidad 0 y 1, y cada número tiene un inverso único bajo cada operación, su negativo y su recíproco, con uno excepción: 0 nunca puede tener un inverso multiplicativo.
La idea de “anillo” cae un requisito; un anillo no necesariamente tiene un inverso multiplicativo para cada elemento distinto de cero. Debe tener al menos uno: la identidad multiplicativa 1 es su propio inverso multiplicativo. 1, por supuesto, tiene un inverso aditivo -1, que también debe ser su propio inverso multiplicativo. Excepto en los casos triviales donde -1 = 1, estos forman dos elementos que son “unidades”, el término de la teoría de los anillos que tiene elementos que tienen inversos multiplicativos. Y, de hecho, el anillo de enteros tiene exactamente estas dos unidades y nada más. En cualquier campo, por otro lado, cualquier elemento distinto de cero es una unidad de anillo teórico. Tenga en cuenta que la unidad teórica de anillo es diferente de otras nociones de unidad, como “círculo de unidad”.
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Luego preguntamos, para cualquier elemento x de un anillo, ¿cuál es el conjunto de todos los múltiplos de ese elemento? Para 0, solo contiene 0. Para 1 o cualquier unidad, es todo el anillo. (Por lo tanto, para un campo, los únicos dos conjuntos de este tipo son {0} y el campo completo). Para un anillo que no sea de campo, ¿puede ser algo intermedio? Sí, en los enteros, el ejemplo más simple es el conjunto de todos los múltiplos de 2, llamado 2Z, que contiene todos los números pares (incluyendo negativos y 0) y ningún número impar.
Puede verificar que dichos conjuntos estén cerrados mediante la suma y resta de dos miembros dentro del conjunto, y cerrados bajo la multiplicación no solo dentro del conjunto, sino mediante elementos de anillo fuera del conjunto. La teoría del anillo llama a un conjunto que obedece a estas dos propiedades de cierre un “ideal”, que originalmente era la abreviatura de “elemento ideal”, y la teoría del anillo trata en gran medida de ellos. En los enteros, todos los ideales son simplemente el conjunto de todos los múltiplos de algún elemento individual, pero en anillos más complicados esto puede no ser cierto.
