¿Por qué funciona la ley del cuadrado inverso?

Hay dos formas de llegar a [matemáticas] F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2} [/ matemáticas]. Una es por experimentación: conociendo [matemáticas] m_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] m_2 [/ matemáticas], tomas varias medidas cuidadosas a diferentes valores de [matemáticas] r [/ matemáticas] y luego notas que tu gráfica resultante muestra que [matemáticas] F [/ matemáticas] varía aproximadamente como [matemáticas] \ frac {1} {r ^ 2} [/ matemáticas].

El otro es considerando la teoría. Comencemos con una suposición básica. No importa lo que le hayan dicho sus abuelos, no caminaron cuesta arriba hacia la escuela en ambas direcciones. Para cualquier camino cerrado, la suma de las subidas y bajadas debe totalizar hasta cero. De lo contrario, podría caminar en círculo y, utilizando solo la gravedad, generar energía. En términos técnicos, esto significa que la gravedad es un “campo conservador” en el sentido de que un circuito cerrado genera un cambio de energía cero, independientemente del camino que tome el circuito cerrado. Entonces, independientemente de cómo llegue del punto A al punto B, el trabajo realizado o absorbido es el mismo.

Ahora, hay algunas matemáticas involucradas, que omitiré, pero puedes buscar campos de vectores y leer todo al respecto. Si tiene un campo de fuerza conservador y la fuerza proviene de un lugar, en lugar de venir de todas partes, las matemáticas requieren que el campo se caiga como [matemáticas] \ frac {1} {r ^ 2} [/matemáticas].

Porque la superficie de una esfera va como el cuadrado del radio. Si una cierta cantidad de campo, ya sea gravitacional, electromagnético o lo que sea, debe extenderse uniformemente sobre una esfera, la cantidad por unidad de superficie de esa esfera caerá inversamente con el área de esa superficie, es decir, inversamente con el cuadrado del radio. Es solo otra ley de conservación: el doble de la superficie, la mitad del material, cualquiera que sea el material: gravedad, luz, naves espaciales que huyen de una nova.

Creo que es cierto cuando hablamos de fuerzas donde se conserva el flujo de una cantidad particular. Por ejemplo, en el caso de la fuerza electrostática, el potencial se conserva; por lo tanto, las líneas de campo que se extienden hacia afuera de una fuente puntual (una carga eléctrica) deben conservarse. En tres dimensiones espaciales, puede comparar dicha conservación entre dos capas esféricas imaginarias de diferentes radios (en el medio). A medida que la superficie del frente esférico que se propaga hacia afuera aumenta a medida que [math] r ^ 2 [/ math], la cantidad conservada debe comportarse de manera proporcional a [math] \ frac {1} {r ^ 2} [/ math] para la conservación para ser verdad Esto puede entenderse como una explicación intuitiva para que la ley del cuadrado inverso sea operativa. Sin embargo, hay muchos ejemplos de fuerzas donde la ley no es cierta: la fuerza de van der waals es proporcional a [matemática] \ frac {1} {r ^ 6} [/ matemática] mientras que la fuerza de atracción entre dos magnéticos dipolos es proporcional a [math] \ frac {1} {r ^ 3} [/ math].

Para un campo eléctrico, podemos pensar en el teorema de Gauss para una carga cerrada en un conductor esférico. Como la carga se colocaría simétricamente en la esfera, el campo eléctrico sería el mismo en cualquier punto de la esfera. Si consideramos una esfera del doble del radio, el campo eléctrico sería 4 veces más débil porque la misma carga se extiende sobre 4 veces el área. Por lo tanto, postulamos que la intensidad del campo eléctrico obedece a una ley del cuadrado inverso; esto puede verificarse mediante un simple experimento con un alto grado de precisión.

El mismo razonamiento se puede aplicar a la gravedad, aunque el “campo de gravedad” fundamental es algo difícil de alcanzar, pero esto es una justificación para la ley del cuadrado inverso (que fue confirmado experimentalmente por observaciones celestes de planetas en órbita).

Digamos que tenemos algo que emite 10 ^ 30 fotones inmediatamente. Se extienden en una onda esférica, yendo hacia afuera y la velocidad de la luz. 1 m de distancia, el área de superficie (4 / pi r ^ 2 [matemáticas]) [/ matemáticas]

Es bastante sencillo. Usemos la energía radiante como nuestro ejemplo, porque eso realmente, como usted dice, se extiende sobre un área.

Imagine una fuente de luz puntual, que emite una salida de energía total de Q Watts por igual en todas las direcciones. Ahora encierra esa fuente dentro de una esfera, de radio r, con la fuente de luz en su centro. Como el área de superficie interna de la esfera es 4πr², está claro que la energía por unidad de área es Q / 4πr², que es su relación cuadrada inversa.

Esto se explica por sí mismo. r es el radio, a medida que se hace más grande, digamos 2r, el área sería 2r ^ 2.

Fuente: Wikipedia

Esto es simetría en el trabajo. Si no hay razón para creer que las Leyes de la física son diferentes en diferentes direcciones, entonces la ley de la fuerza del cuadrado inverso de una fuente puntual es con lo que termina.

No tiene que hacerlo, como si tuviera una barra muy larga de densidad uniforme, la gravedad no cae como la ley del cuadrado inverso. Del mismo modo, la gravedad dentro de una distribución esférica de masa no sigue la ley del cuadrado inverso.

Ver también:

Ley del cuadrado inverso