Minimizar la acción de un camino te da el verdadero camino físico. ¿Una partícula ‘siente’ cada camino y toma el que tenga menos acción?

Entiendo su confusión y, para ser honesto, no es tan difícil describir estas cosas de manera engañosa.

Lo que debe notar aquí es que el principio de menor acción es la forma en que define todas las entidades físicas en los sistemas mecánicos en lugar de ser una simple consecuencia. Es decir, no es accidental cuando elige esa forma particular para el lagrangiano, ya que requiere, entre otras cosas, la que minimiza la acción.

En otras palabras, la formulación lagrangiana para un sistema particular imita el comportamiento mecánico y sigue el principio de menor acción porque usted exige hacerlo, estas características son simplemente restricciones en la definición de su modelo.

La formulación lagrangiana requiere que cierto funcional se minimice sí y este funcional es lo que se llama la acción. No entiendo lo que quieres decir con “sentir”, sin embargo, la partícula realmente no siente nada más que fuerzas, etc.
El principio de acción, según tengo entendido, es solo una descripción alternativa y muy útil de la naturaleza. Se define como esta cantidad que debe ser mínima sobre todas las posibilidades de rutas.
Tiene poder predictivo porque conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange, en un caso. Estas ecuaciones también son generalizaciones, que pueden ayudarnos a producir otras ecuaciones que a su vez tendrán poder predictivo. Eso es lo poderoso de ellos.
Sin embargo, el principio de acción también se puede utilizar para derivar otras relaciones. Por ejemplo, una acción muy específica llamada acción de Einstein-Hilbert se puede usar para derivar las ecuaciones de campo de Einstein para la relatividad general.
El poder de la formulación lagrangiana está realmente en cuán adaptable es a tantos tipos diferentes de sistemas y configuraciones.

De hecho, la formulación lagrangiana es la misma que la segunda ley de movimiento de Newton: [matemática] F = \ frac {dp} {dt} [/ matemática], excepto que es mucho más poderosa para sistemas de muchas partículas. Te mostraré por qué para un sistema de una partícula, entonces deberías entender por qué funciona también para sistemas de muchas partículas.

Deje que [math] x (t) [/ math] sea la posición de la partícula en el momento [math] t [/ math], y [math] \ dot {x} (t) [/ math] sea su velocidad. [matemática] U (x) [/ matemática] es el potencial en función de la coordenada espacial en la que se mueve la partícula.

Luego para el lagrangiano obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ Lambda = \ frac {1} {2} m \ dot {x} (t) ^ 2-U (x) [/ matemáticas]

La ecuación de Euler-Lagrange es:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial \ Lambda} {\ partial x} – \ frac {d} {dt} \ Big (\ frac {\ partial \ Lambda} {\ partial \ dot {x}} \ Big) = 0 [/ matemáticas]

Al enchufar, obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle- \ frac {dU} {dx} – \ frac {d} {dt} (m \ dot {x}) = 0 [/ matemáticas]

o:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dp} {dt} = – \ frac {dU} {dx} = F [/ matemáticas]

Por lo tanto, una partícula no “siente” cada camino, solo sigue el camino que corresponde a la segunda ley de Newton. El lagrangiano y el principio de menor acción son solo otra formulación (más compleja). Me parece un poco confuso el principio del nombre de menor acción. Sugiere un nuevo principio mágico que las partículas obedecen por alguna razón, mientras que en realidad es lo mismo que una ley mucho más intuitiva.