¿Es un vector unidimensional un escalar?

No. Como físico, si tiene un objeto unidimensional, tiene la opción de usar un escalar (número) o un vector unidimensional para describir este objeto, siempre que el espacio completo con el que esté tratando sea unidimensional.

Un vector unidimensional en un espacio vectorial multidimensional es muy diferente a un escalar. Un vector tiene una proyección hacia otras direcciones, o más generalmente, un vector tiene una multiplicación escalar y una multiplicación de vectores definida para ese espacio que es completamente diferente de un escalar multiplicado por un vector.

No es necesario. Deje [math] V [/ math] ser un espacio vectorial sobre un campo [math] F [/ math]. Deje [math] \ dim (V) = 1. [/ math] Entonces su base contendrá un solo elemento (digamos [math] e [/ math]). El espacio vectorial [matemática] V [/ matemática] ahora puede escribirse como [matemática] \ {[/ matemática] [matemática] ae \ mid a \ en F \}. [/ Matemática] Claramente, no es necesario que [ matemáticas] V = F. [/ matemáticas]

Por ejemplo, considere el conjunto [matemática] I [/ matemática] de números puramente imaginarios (incluido cero). [math] I [/ math] forma un grupo abeliano bajo adición compleja. También es un espacio vectorial sobre el conjunto de números reales [math] \ mathbb R [/ math]. Observe que la base de este espacio es [matemáticas] (i). [/ Matemáticas] Por lo tanto, la dimensión de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] es una. Pero [math] I [/ math] claramente no es igual a [math] \ mathbb R [/ math].

Este es un espacio vectorial de dimensión [math] 1 [/ math] sobre [math] \ mathbb R [/ math], pero no igual a [math] \ mathbb R [/ math].

Comencemos con un espacio tridimensional con ejes x , y y z como se muestra a continuación con la regla de la mano derecha . Digamos también que i , j y k corresponden a x , y y z respectivamente.

En matemáticas y física, un vector siempre consta de dos componentes: una dirección y una magnitud (escalar) . Personalmente prefiero decir que un vector consta de tres componentes: un sistema de coordenadas , una dirección y una magnitud escalar . En cualquier caso, tenemos lo siguiente …

• Un vector en 3 espacios se escribiría de la siguiente manera: V = a i + b j + c k con escalares a, b y c y direcciones i, j, k
• Un vector en 2 espacios puede escribirse de la siguiente manera: V = a i + b j + 0 k = a i + b j con escalares ayb y direcciones i, j
• Un vector en 1 espacio (nuestro ejemplo) podría escribirse de la siguiente manera: V = a i + 0 j + 0 k = a i con escalar ay dirección i

Como puede ver, un vector siempre tiene un escalar para cada dirección, incluso si algunos términos tienen magnitud cero , lo que posiblemente reduzca las dimensiones de su sistema de coordenadas correspondiente , lo que no tendría sentido si este vector actúa sobre otros vectores que provienen de diferentes direcciones . Es por eso que sostengo que un sistema de coordenadas debe incluirse como un componente necesario en cada vector . Esto puede estar implícito al no eliminar términos con valores cero. Por ejemplo:

3 i = 3 i + 0 j + 0 k

Independientemente del sistema de coordenadas, usted preguntó si un vector unidimensional es un escalar . La respuesta es no porque la dirección de ese vector sigue siendo importante. Por ejemplo, ¿mide 6 pies de alto o 6 pies de ancho? ¿Puedes ver por qué la dirección importa dando como resultado un vector ?

Editar: Si solo estamos contando frijoles, no necesitamos un vector. Simplemente tenemos un escalar. Pero si estamos midiendo longitud o parámetros relacionados (como se ve a menudo en álgebra lineal) en cualquier espacio que tenga cualquier número de dimensiones , tenemos vectores, incluso si los otros términos son cero. Por conveniencia, está bien dejar caer la dirección en un espacio unidimensional, lo que resulta en tratar nuestro vector como un escalar . Que por cierto puede ser la fuente de confusión.

Buena pregunta. Yo diría que sí, definiendo un vector que tiene magnitud y dirección: un espacio vectorial unidimensional sobre un campo F es isomorfo como un espacio vectorial para F (como un espacio vectorial sobre sí mismo). En el caso de, por ejemplo, F = números reales, cada número es un vector, pero no tiene otra opción de orientación que quizás su signo. Por lo tanto, un vector sin una opción de orientación solo tiene magnitud, por lo que es un escalar.

EDITAR: Estoy un poco desgarrado, indeciso aquí. También se puede tener, por ejemplo, los Complejos como un espacio vectorial sobre sí mismos, y los números Complejos tienen un sentido de dirección hacia ellos. Entonces, creo que la parte anterior es correcta, pero no estoy al 100%. Pero estoy bastante seguro de un espacio vectorial 1D sobre los Reals.

¡No, un vector no es escalar!

Los vectores siempre tienen un componente para cada dimensión, independientemente del número de dimensiones que el vector pueda representar.

Los escalares son invariantes bajo transformaciones, donde los vectores no lo son, lo que significa que sus componentes también se transforman.

Si el vector unidimensional existe en un espacio vectorial unidimensional, entonces la magnitud sería suficiente para definir el vector.

No, no tiene por qué serlo. Hay muchos espacios vectoriales unidimensionales que no son el campo u otro campo.

Un vector unidimensional es un vector que se encuentra a lo largo de un eje. Eso no lo convierte en un escalar.