¿Hay alguna función periódica que no pueda expresarse como una suma de senos y cosenos?

La respuesta de Nikita Butakov no es del todo correcta. Es cierto que [math] \ {\ sin (nx), \ cos (nx) \} [/ math] forma una base ortonormal de [math] L ^ 2 (- \ pi, \ pi) [/ math]. Sin embargo, esto no significa que cada función pueda expresarse como una serie de Fourier. Más bien, es el caso que:

• Para una función diferenciable , la serie Fourier converge en todas partes .
• para funciones integrales continuas o cuadradas , la serie de Fourier converge en casi todas partes (aunque aún puede divergir en innumerables puntos).
• para otras funciones , incluso integrables, la serie Fourier puede no converger en absoluto. En 1926, Kolmogorov construyó una función integrable (pero no integrable al cuadrado) cuya serie de Fourier diverge en todas partes.

El fenómeno de Gibbs es una ilustración del segundo punto.

Sí, aunque debe especificar el tipo de convergencia. Puntiagudo? Puntiagudos ae? En [matemáticas] L ^ p [/ matemáticas]?

Si le interesa la convergencia puntual, existen funciones continuas cuyas series de Fourier no convergen puntualmente en todas partes con la función original. Puede imponer condiciones más estrictas, como Hölder-Lipschitz, para lograr una convergencia puntual.

Si le preocupa la convergencia puntual, ee, Kolmogorov construyó una función [matemática] L ^ 1 (\ mathbb {T}) [/ matemática] cuya serie de Fourier diverge en todas partes. Pero el teorema de Carleson-Hunt garantiza que si su función está en [matemáticas] L ^ p [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] 1

Si le interesa la convergencia de normas, esto funciona para funciones en [matemáticas] L ^ p [/ matemáticas], [matemáticas] 1

Si. De hecho, casi todas las funciones periódicas no pueden expresarse como series de Fourier.

Sin embargo, si considera el espacio L ^ 2, entonces todas las funciones L ^ 2 pueden expresarse como series de Fourier en el sentido L ^ 2.