Absolutamente. Con un poco de equipaje matemático adicional, los grupos de cocientes son fundamentales para el tema de la teoría de indicadores.
En matemáticas, tienes un grupo G y un subgrupo normal N. El grupo de cocientes G / N es, en términos generales, lo que obtienes cuando “no te importa N.” Un concepto un poco más general es que cuando tienes un grupo G que actúa sobre un espacio no necesariamente grupal X, puedes formar el “espacio cociente” X / G declarando dos puntos en X equivalentes si hay un elemento de G tomando uno en el otro.
Bien, ahora tomemos un ejemplo súper súper simple en electromagnetismo: voltaje antiguo simple. Como probablemente sepa, el voltaje en un punto particular no tiene sentido. Es realmente la diferencia de voltaje entre dos puntos lo que significa algo. Es fácil pasar por alto la teoría de grupo que acecha allí, simplemente diciendo “sí, obviamente habrá una elección arbitraria de unidades …” Pero quédese conmigo por un segundo.
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Otra forma, quizás innecesariamente complicada, de explicar este fenómeno es que el grupo [math] \ mathbb {R} [/ math] actúa sobre los voltajes por traducción; es decir, un elemento [math] r \ in \ mathbb {R} [/ math] actúa sobre un voltaje [math] v [/ math] enviándolo a [math] v + r [/ math]. (Lo sé, lo sé … el “conjunto de voltajes” también es [math] \ mathbb {R} [/ math]. Pero me refiero a ellos por separado para ilustrar mejor la diferencia entre el objeto matemático [math] \ mathbb {R} [/ math] y los objetos físicos que comprenden voltajes.)
Entonces el punto es que el “conjunto de voltajes” desnudo (llámelo V ) no tiene significado físico, sino que el espacio [matemático] V / \ mathbb {R} [/ matemático] sí.
¿Exceso? Tal vez. Pero este tipo de cosas suceden en otros contextos, con acciones grupales más complicadas. El modelo estándar, por ejemplo, implica una acción similar de un grupo más complicado: U (1) x SU (2) x SU (3), cada uno de los cuales son solo ciertos grupos de matriz directos.
Pero en este contexto más rico, podemos usar técnicas de teoría de grupos no triviales para aprender cosas sobre el mundo.
