Las funciones más sencillas se usan típicamente para obtener los estados máximamente localizados de algún conjunto inicial de funciones de onda.
Una manera simple de pensar en esto es la siguiente. Si comienzas con todos los estados de onda plana para una partícula libre, ¿cómo construyes estados máximamente localizados? En este caso, el análisis simple de Fourier nos dice que puede obtener funciones de dirac delta, que son las más localizadas que cualquier estado podría ser, al agregar TODOS los estados de onda plana con el mismo peso. Básicamente, puede hacer este mismo proceso de construir dirac-deltas con cualquier conjunto completo de estados, como los (número infinito de) orbitales en hidrógeno o los estados armónicos del oscilador. En todos estos casos, necesito sumar cada estado en la base para obtener el dirac delta (ignorando los casos patológicos de los nodos).
Sin embargo, en el caso de los materiales, incluir todos los estados posibles de cada átomo es inviable y no debería ser necesario para comprender la física relevante. Como caso concreto, puede ser que solo las bandas syp de un material sean relevantes y todas las demás bandas estén desocupadas o tengan grandes huecos de energía. La pregunta ahora es: si no tengo una base completa, ¿cuál es la más localizada que puedo obtener? Obviamente, no puede obtener deltas de dirac, porque necesitaría una base completa para eso, pero los estados máximamente localizados que obtiene son los estados de Wannier. La construcción exacta de estos estados se encuentra en cualquier libro de texto de física de estado sólido.
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Por lo general, en lugar de una función delta infinitamente nítida, estas funciones de Wannier aparecerán un poco más o menos del tamaño de un sitio de celosía y decaerán rápidamente a medida que se aleje del sitio. Una vez que tenga estas funciones de Wannier, puede usarlas en un modelo de enlace estricto y calcular explícitamente los elementos de la matriz de salto.
Para dar un ejemplo de cómo se hace esto en la práctica, considere lo siguiente:
Tengo un cristal de silicio y mis amigos experimentales me dicen que es un aislante. Sé que los electrones de valencia viven en orbitales s y p en silicio aislado, por lo que en lugar de usar una base de onda plana, tiene más sentido usar orbitales atómicos como base de partida. Debido a que el material aísla, espero que la unión estrecha sea el marco computacional correcto. No espero que los electrones se muevan a través de la mezcla en orbitales d, f, … más altos porque tienen energías mucho más altas, por lo que elegí solo usar orbitales sy p en mi cálculo. Debido a que la unión estrecha necesita funciones de onda localizadas para entrar y salir, necesito construir funciones de onda máximamente localizadas para el cálculo. Estas son precisamente las funciones más extrañas, y se crearían a partir de los estados syp. Después de usarlos en mi Hamiltoniano, puedo encontrar que las funciones más extrañas no son los estados propios, pero eso no es un problema porque los hice para que se localicen y no sean estados propios.
Espero que ayude
