¿Cuál es el resto cuando 7 ^ 2017 se divide por 25? Explique en un lenguaje fácil de entender.

Simplemente revise la explicación de manera inteligente.

[matemáticas] R [\ dfrac {(7) ^ {2017}} {25}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = R [\ dfrac {7 \ veces (7) ^ {2016}} {25}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = R [\ dfrac {7} {25}] \ veces R [\ dfrac {(7) ^ {2016}} {25}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = 7 \ veces R [\ dfrac {(7 ^ 2) ^ {1008}} {25}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = 7 \ veces R [\ dfrac {(49) ^ {1008}} {25}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = 7 \ veces R [\ dfrac {(50–1) ^ {1008}} {25}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = 7 \ veces R [\ dfrac {(-1) ^ {1008}} {25}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = 7 \ veces 1 [/ matemáticas]

= 7 ( respuesta )

Antes que nada podemos escribir su pregunta como:

[matemáticas] x \ equiv 7 ^ {2017} (\ mod {25}) [/ matemáticas]

Usando el pequeño teorema de Fermat, podemos descomponer 2017 = phi (25) * (algo) + (algo más)

[matemáticas] \ varphi (25) = 4 * 5 = 20 [/ matemáticas]

ya que FLT nos garantiza que [math] x ^ {20} \ equiv 1 (\ mod {25}) [/ math] podemos reescribir la congruencia como

[matemáticas] x \ equiv 7 ^ {17} (\ mod {25}). [/ matemáticas]

ahora tenemos que mirar el orden de multiplicación de 7 en [math] \ z / {25} \ z [/ math]

el orden tiene que dividir [math] \ varphi (25) = 20 [/ math] entonces:

[matemáticas] 7 ^ 2 = 49 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 7 ^ 4 = (7 ^ 2) ^ 2 = (- 1) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Entonces el orden de 7 es 4, entonces [matemática] [/ matemática] [matemática] 7 ^ {4k} \ equiv 1 (\ mod {25}) \ forall k \ in \ Z. [/ Matemática]

Ahora [matemáticas] 7 ^ {17} \ equiv 7 * {7 ^ 4} ^ {4} \ equiv 7 * 1 ^ 4 \ equiv 7 (\ mod {25}). [/matemáticas]

Entonces, el resto de [matemáticas] 7 ^ {2027} [/ matemáticas] dividido entre 25 es 7.

Lo siento si no usé un lenguaje apropiado, pero espero que obtengas lo que quería explicarte.

Dado 7 ^ 2017, tenemos que encontrar el resto cuando este no se divide por 25.

7 ^ 2017 = 7 ^ 2016 * 7

= (7 ^ 2) ^ 1008 * 7

= 49 ^ 1008 * 7

Cuando dividimos 45 por 25, obtenemos el resto como 24.

= (24 ^ 1008) / 25 * 7/25

(24 ^ 1008) / 25 tiene la forma a ^ n / (a ​​+ 1)

Como la potencia de 24 es par, obtenemos el resto como 1.

= (1 * 7) / 25

Por lo tanto, el resto de 7 ^ 2017 cuando se divide por 25 es 7.

[matemáticas] 7mod25 = 7 \\ 7 ^ 2mod25 = 24 \\ 7 ^ 3mod25 = 18 \\ 7 ^ 4mod25 = 1 \\ y \\ 7 ^ 5mod25 \ equiv7 ^ {5mod4} mod25 \ equiv7mod25 \\ 7 ^ 6mod25 \ equiv7 ^ {6mod4} mod25 \ equiv7 ^ 2mod25 \\. \\. \\ 7 ^ {2017} mod25 \ equiv7 ^ {2017mod4} mod25 \ equiv7mod25 [/ math]

En general

[matemáticas] a ^ n modb \ equiv a ^ {nmodr} modb [/ matemáticas]

Con r = restos cíclicos de “a mod b”.