Esto puede parecer un poco irrelevante, pero prometo que lo ayudará a encontrar una respuesta a su pregunta, así que tenga paciencia conmigo por un minuto. ¿Has oído hablar del “problema del matrimonio estable”?
En resumen, tiene un grupo de hombres y mujeres (el mismo número de cada uno) y desea casar a cada hombre con una de las mujeres. Pero los hombres y las mujeres no son indiferentes en cuanto a con qué personas preferirían casarse: cada hombre puede decir con qué mujer le gusta más (y segundo y tercero y así sucesivamente), y también cada mujer sobre los hombres. (Estos se llaman órdenes de preferencia ; es posible que haya oído hablar de esta noción en otra parte de la teoría de juegos, ya que es ampliamente utilizada).
Si no organiza a las parejas de la manera correcta (por ejemplo, si arroja todos los nombres de las mujeres en un sombrero y cada hombre dibuja un nombre al azar), podría suceder que cierto hombre y mujer no terminen juntos , pero preferiría casarse entre sí que casarse con sus parejas actuales. Si esto sucede, se dice que el arreglo es inestable .
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El problema del matrimonio estable es entonces: si le dan todos los pedidos de preferencia de hombres y mujeres, ¿puede encontrar un arreglo estable? En otras palabras, uno en el que no puedes encontrar a nadie mejor que tu cónyuge porque todos los que te gustan más ya están casados con alguien que les gusta más que tú.
Problema de matrimonio estable – Wikipedia
El problema del matrimonio estable fue resuelto en un artículo de 1962 por Lloyd Shapley y David Gale, “Admisiones a la universidad y la estabilidad del matrimonio”. La solución es que siempre existe una disposición estable. Lograron demostrar esto ofreciendo un algoritmo de coincidencia y mostrando que siempre encuentra un arreglo estable.
Bueno, ¿cómo se ve la prueba? Solo un argumento inteligente puesto en palabras simples en inglés. La única fórmula a la vista es [matemática] n ^ 2-2n + 2 [/ matemática], el número máximo de pasos en el algoritmo (donde [matemática] n [/ matemática] es el número de parejas para organizar), y no una sola ecuación matemática (existen las desigualdades [matemáticas] b g [/ matemáticas], lo que significa que hay menos niños que niñas o más niños que niñas).
Y esto me lleva de vuelta a su pregunta. ¿Dónde están las matemáticas de la teoría de juegos? Para responder eso, permítanme citar de la conclusión del trabajo de Gale y Shapley:
El argumento se lleva a cabo no en símbolos matemáticos sino en inglés ordinario; No hay términos oscuros o técnicos. El conocimiento del cálculo no se presupone. De hecho, uno apenas necesita saber contar. Sin embargo, cualquier matemático reconocerá de inmediato el argumento como matemático, mientras que las personas sin capacitación matemática probablemente encontrarán dificultades para seguir el argumento, aunque no por falta de familiaridad con el tema.
¿Qué, entonces, para plantear la vieja pregunta, es la matemática? La respuesta, al parecer, es que cualquier argumento que se lleve a cabo con suficiente precisión es matemático, y la razón por la cual sus amigos y los nuestros no pueden entender las matemáticas no es porque no tengan cabeza para las figuras, sino porque no pueden lograr el grado de concentración requerida para seguir una secuencia moderadamente involucrada de inferencias.
En otras palabras, cuando estás argumentando en inglés simple que el algoritmo siempre encuentra una disposición estable, estás haciendo matemáticas, incluso si no estás usando ninguna fórmula o figura. Es lo mismo con la teoría de juegos. Incluso si no ve una sola fórmula, la teoría de juegos es la matemática de la teoría de juegos, siempre que su razonamiento sea lo suficientemente preciso.
Ah, pero para responder a su pregunta, encontrar equilibrios de Nash de estrategia mixta requiere un poco de cálculo diferencial y resolver sistemas de ecuaciones, cuando intenta maximizar la utilidad esperada. Pero esa no es la diversión de la teoría de juegos, sino la rutina. La parte genial de la teoría de juegos radica en el razonamiento, en sacar conclusiones de lo que ves. De eso se trata realmente la matemática.
