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Obviamente, puede resolver [matemáticas] x ^ 2-6x + 3 = 0 [/ matemáticas], luego factorizarlo como [matemáticas] (x-x_1) (x-x_2) [/ matemáticas] y encontrar los enteros de tal manera que [matemáticas] x_1 \ lt n \ lt x_2 [/ matemáticas]. Pero, ¿dónde está la diversión en eso?
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[matemáticas] x ^ 2 – 6x + 3 \ lt 0 \ Leftrightarrow 0 \ le x ^ 2 \ lt 6x-3 [/ matemáticas]
Entonces, lo primero que necesitamos es
[matemáticas] 6x-3 \ gt 0 \ Leftrightarrow 6x \ gt 3 \ Leftrightarrow x \ gt \ frac {3} {6} \ Leftrightarrow x \ gt \ frac {1} {2} [/ math]
Pero estamos operando con enteros, así que esto es lo mismo que
[matemáticas] x \ ge 1 [/ matemáticas].
Ahora resolvamos
[matemática] n ^ 2 \ lt 6n-3 [/ matemática] para [matemática] n [/ matemática] [matemática] \ in \ mathbb N ^ * [/ matemática]
[matemáticas] n ^ 2 \ lt 6n – 3 \ Leftrightarrow n \ lt 6 – \ frac {3} {n} [/ matemáticas]
Pero como sabemos que [math] n [/ math] es un entero estrictamente positivo, tenemos tres casos a considerar:
[matemáticas] 1 \ le n \ lt 3 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] 1 \ lt [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {3} {n} \ le 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ qquad 6- \ frac {3} {n} \ lt 6-3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ qquad n ^ 2 \ lt 6n-3 \ Leftrightarrow n \ lt 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] n = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ qquad \ frac {3} {n} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ qquad 3 \ lt 5 [/ matemáticas] es cierto
[matemáticas] n \ gt 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ qquad 0 \ lt \ frac {3} {n} \ lt 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ qquad n \ lt 6 – \ frac {3} {n} \ Leftrightarrow n \ le 6-1 \ Leftrightarrow n \ le 5 [/ math]
Esos tres casos todos equivalen a
[matemáticas] 0 \ lt n \ le 5 [/ matemáticas]
Entonces tenemos [matemáticas] 5 [/ matemáticas] números enteros tales que [matemáticas] x ^ 2-6x + 3 \ lt 0 [/ matemáticas], a saber [matemáticas] 1, 2, 3, 4 [/ matemáticas] y [matemáticas ] 5 [/ matemáticas]