Cómo encontrar el número de enteros que satisfacen la desigualdad [matemática] x ^ 2 -6x +3 <0 [/ matemática]

A2A

Obviamente, puede resolver [matemáticas] x ^ 2-6x + 3 = 0 [/ matemáticas], luego factorizarlo como [matemáticas] (x-x_1) (x-x_2) [/ matemáticas] y encontrar los enteros de tal manera que [matemáticas] x_1 \ lt n \ lt x_2 [/ matemáticas]. Pero, ¿dónde está la diversión en eso?

También puedes notar que

[matemáticas] x ^ 2 – 6x + 3 \ lt 0 \ Leftrightarrow 0 \ le x ^ 2 \ lt 6x-3 [/ matemáticas]

Entonces, lo primero que necesitamos es

[matemáticas] 6x-3 \ gt 0 \ Leftrightarrow 6x \ gt 3 \ Leftrightarrow x \ gt \ frac {3} {6} \ Leftrightarrow x \ gt \ frac {1} {2} [/ math]

Pero estamos operando con enteros, así que esto es lo mismo que

[matemáticas] x \ ge 1 [/ matemáticas].

Ahora resolvamos

[matemática] n ^ 2 \ lt 6n-3 [/ matemática] para [matemática] n [/ matemática] [matemática] \ in \ mathbb N ^ * [/ matemática]

[matemáticas] n ^ 2 \ lt 6n – 3 \ Leftrightarrow n \ lt 6 – \ frac {3} {n} [/ matemáticas]

Pero como sabemos que [math] n [/ math] es un entero estrictamente positivo, tenemos tres casos a considerar:

[matemáticas] 1 \ le n \ lt 3 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] 1 \ lt [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {3} {n} \ le 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad 6- \ frac {3} {n} \ lt 6-3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad n ^ 2 \ lt 6n-3 \ Leftrightarrow n \ lt 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad \ frac {3} {n} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad 3 \ lt 5 [/ matemáticas] es cierto

[matemáticas] n \ gt 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad 0 \ lt \ frac {3} {n} \ lt 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad n \ lt 6 – \ frac {3} {n} \ Leftrightarrow n \ le 6-1 \ Leftrightarrow n \ le 5 [/ math]

Esos tres casos todos equivalen a

[matemáticas] 0 \ lt n \ le 5 [/ matemáticas]

Entonces tenemos [matemáticas] 5 [/ matemáticas] números enteros tales que [matemáticas] x ^ 2-6x + 3 \ lt 0 [/ matemáticas], a saber [matemáticas] 1, 2, 3, 4 [/ matemáticas] y [matemáticas ] 5 [/ matemáticas]

A continuación se muestra la gráfica de la función dada, es decir, f (x) = x ^ 2 – 6x + 3

Como se puede observar, la f (x) <0 dada para x = 1,2,3,4 y 5, de lo contrario f (x)> 0 para los valores restantes de x.

Por lo tanto, hay un total de cinco enteros que satisfacen la desigualdad x ^ 2–6x + 3 <0

Bueno, primero tendrá que factorizar la función. Al aplicar el método de fórmula, obtenemos las raíces como

[matemáticas] x = \ dfrac {6 ± \ sqrt (24)} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 3+ \ sqrt6; 3- \ sqrt6 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x – 3 – \ sqrt6). (x – 3 + \ sqrt6) <0 [/ matemáticas]

Ahora simplemente usaremos una implicación que obtenemos del método de curva ondulada que establece que la cuadrática tendrá un valor negativo para todos los valores que se encuentran entre las dos raíces (donde el coeficiente de x² es positivo)

[Esto puede entenderse de una forma que si observa la gráfica de una ecuación cuadrática, sabemos que es una parábola ascendente si el coeficiente de x² es positivo. Eso significa que si las raíces son el punto donde la gráfica corta el eje X, eso implica que obtendremos el vértice / mínimo debajo del eje x. Y dado que está debajo del eje x, eso significa que el valor de y será negativo.

(algo como esto)

Otra forma es que un factor tiene que ser positivo y el otro tiene que ser negativo. Entonces eso implica que x tiene que ser menor que la solución que tiene un valor mayor pero mayor que la solución que tiene un valor del arrendatario]

Entonces esta ecuación se satisfará para todas las x que se encuentran entre las raíces 3 + √6 y 3-√6.

Ahora no sabemos el valor exacto de √6 pero sabemos que estará entre 2 y 3. Bueno, dado que (2.5) ² = 6.25 y (2.4) ² = 5.76, entonces √6 estará entre 2.4 y 2.5.

Entonces 3 + √6> 5 y 3-√6 <1.

Entonces los valores enteros serán 1, 2, 3, 4, 5 .

Entonces eso da una solución de 5 enteros .

Espero eso ayude.

[matemáticas] x ^ 2 – 6x + 3 <0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 – 6x + 9 – 6 <0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x – 3) ^ 2 <6 [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ sqrt {6}

[matemáticas] 3 – \ sqrt {6}

[matemáticas] x = 1, 2, 3, 4, 5 [/ matemáticas]

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} x ^ 2-6x + 3 & <0 \\ x ^ 2-6x + 9-6 & <0 \\ (x-3) ^ 2 - (\ sqrt6) ^ 2 & <0 \\ (x-3 + \ sqrt6) (x-3- \ sqrt6) & <0 \\\ en caja {x \ in (3- \ sqrt6,3 + \ sqrt6)} \ end {align} \ tag * {} [ /matemáticas]

[matemáticas] 3+ \ sqrt 6 \ aprox 5.4 \\ 3- \ sqrt 6 \ aprox 0.55 \ tag * {} [/ matemáticas]

Los enteros intermedios son [matemática] \ left \ {1,2,3,4,5 \ right \} \ tag * {} [/ math]

Encuentra las raíces de x ^ 2 -6x + 3 = 0.

Por fórmula cuadrática:

{6 +/- Sqrrt [36– (4) (1) (3)]} / 2 => {6 +/- sqrrt [24]} / 2 => {6 +/- 4.9} / 2 Estoy usando aproximaciones ya que solo necesito preocuparme por los enteros

10.9 / 2 => 5.45 1.1 / 2 => 0.55

¿Qué enteros están entre 0.55 y 5.45?

1, 2, 3, 4 y 5. 5 enteros

Cheque

0: 0 – 0 + 3 = 3, 3 no es menor que 0. Esto es bueno porque pensamos que 0 no funcionaría

1: 1 – 6 + 3 = -2. -2 es menor que 0

2: 4 – 12 + 3 = -5. -5 es menor que 0

3: 9-18 + 3 = -6. -6 es menor que 0

4: 16-24 + 3 = -5. -5 es menor que 0

5: 25-30 + 3 = -2. _2 es ​​menor que 0

6: 36 – 36 + 3 = 3. 3 no es menor que 0. Esto es bueno porque pensamos que 6 no funcionaría.

Lo graficé en mi aplicación de desigualdad en mi calculadora gráfica. Hay dos soluciones:
x = aproximadamente .55051026 yx = aproximadamente 5.4494897 cuando es igual a 0.
Graficé la desigualdad y luego encontré los ceros. Puede usar la representación gráfica para simplemente encontrar los enteros.
Espero que esto ayude.

RESPUESTA: 5 enteros

x = 3 ± √6

3 – √6

3-2.45

0,55

x∈Z → 1≤x≤5 → x = {1,2,3,4,5}

X ^ 2–6x + 3 <0 haciendo que el cuadrado sea perfecto

(X-3) ^ 2–6 <0, entonces tenemos

-√6 <(X-3) <√6

Resolviendo get [3-√6

SO √6 = 2.44 tenemos

O.56

Entonces, los enteros son [1,2,3,4,5] así que ninguno de los enteros es 5

Dibuja un gráfico del lado izquierdo. Las raíces son 3-sqrt (6) y 3 + sqrt (6). Todos los números entre ellos son soluciones. Hay cinco soluciones enteras, son 1,2,3,4,5.

Como puede ver, para que el polinomio sea menor que 0, hay 5 enteros, es decir, 1, 2,3,4 y 5

  1. Exprese los números reales que satisfacen la desigualdad como una unión de intervalos.
  2. Encuentra los números enteros en esa unión de intervalos.
  3. Cuenta los enteros. Cuidado, puede que no haya ninguno. Cuidado, puede haber infinitos.

x ^ 2−6x + 3 <0 desde aquí reescribimos x ^ 2−6x <-3 y factorizamos; x (x-6) <- 3

Si x negativo no podemos tener una solución, entonces x debe ser positivo y menor que 6

entonces el conjunto de soluciones es {1,2,3,4,5}