Si b es la proporción media entre a y c, ¿cuál es la proporción media entre [matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) \ text {y} (b ^ 2 + c ^ 2) [/ matemáticas]?

Sea [math] x [/ math] la proporción media entre [math] (a ^ 2 + b ^ 2) \ text {y} (b ^ 2 + c ^ 2) [/ math]

Lo sabemos

[matemáticas] \ dfrac {a} {b} = \ dfrac {b} {c} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica b ^ 2 = ac [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) = a ^ 2 + ac = a (a + c) [/ matemáticas]

Del mismo modo, [matemáticas] (b ^ 2 + c ^ 2) = ac + c ^ 2 = c (a + c) [/ matemáticas]

Como [matemática] x [/ matemática] es la proporción media entre [matemática] (a ^ 2 + b ^ 2) [/ matemática] y [matemática] (b ^ 2 + c ^ 2) [/ matemática],

[matemáticas] \ dfrac {(a ^ 2 + b ^ 2)} {x} = \ dfrac {x} {(b ^ 2 + c ^ 2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 = ac (a + c) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 = b ^ 2 (a + c) ^ 2 [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {x = \ pm b (a + c)} [/ math]

a: b :: b: c

b ^ 2 = ac ……………. (1)

Proporción media entre (a ^ 2 + b ^ 2) y (b ^ 2 + c ^ 2) = [(a ^ 2 + b ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2)] ^ 1/2

Ponga b ^ 2 = ac de la ecuación (1)

= [(a ^ 2 + ac) (ac + c ^ 2)] ^ 1/2

= [a (a + c) .c. (a + c)] ^ 1/2

= [ac. (a + c) ^ 2] ^ 1/2, ponga ac = b ^ 2

= [b ^ 2. (a + c) ^ 2] ^ 1/2

= b. (a + c), respuesta

b es la proporción media de a & c. Entonces, b ^ 2 = ac. Ahora proporción media de (a ^ 2 + b ^ 2) y (b ^ 2 + c ^ 2) = √ [(a ^ 2 + b ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2)],

=> √ [(a ^ 2 + ac) (ac + c ^ 2)] => √ [a (a + c) * c (a + c)]

= √ [ac (a + c) ^ 2], => √ [b ^ 2 (a + c) ^ 2], => b (a + c).

Entonces, la proporción media requerida = b (a + c)

A B C